Une classe de structures dans un langage donné qui est axiomisable par un ensemble (éventuellement infini) de phrases du premier ordre ; équivalemment, une classe fermée par isomorphisme et caractérisée par l'équivalence élémentaire et par des descriptions via ultraproduits.

Principe

Caractériser des collections de modèles par des phrases du premier ordre de sorte que l'appartenance soit déterminée par la satisfaction de ces phrases ; les classes élémentaires sont exactement les classes de modèles des théories du premier ordre.

Démonstration

La classe des corps algébriquement clos de caractéristique 0 est élémentaire car elle est la classe des modèles d'une théorie du premier ordre qui énonce les axiomes de corps avec, par schémas d'existence, la clôture algébrique et la condition de caractéristique.

Mauvaise application

Étiqueter comme élémentaire une classe définissable seulement par des propriétés du second ordre, par une logique infinitaire, ou par des propriétés de fermeture purement sémantiques (par ex. fermeture sous toutes les sous-structures) ; ou supposer la fermeture sous unions arbitraires sans élmentarité.

Conséquence

Les classes élémentaires permettent des questions de complétude, des arguments de compacité, des constructions par ultraproduit et des manipulations syntaxiques ; les invariants model-théoriques comme les types et la saturation s'appliquent systématiquement.

Inversion

Les classes non élémentaires (par ex. pseudo-élémentaires ou AEC) ne possèdent pas d'axiomatisation première-ordonnée unique et demandent d'autres outils comme les langages infinitaires ou des descripteurs catégoriques.

Limite

La notion se limite à l'axiomatisabilité du premier ordre : les classes définissables seulement en logiques infinitaires, par des propriétés de fermeture, ou par des contraintes d'ordre supérieur sont exclues ; l'équivalence élémentaire et la fermeture par ultraproduits marquent la frontière.

Tension sémantique

La tension vient de l'opposition entre la définissabilité syntaxique (axiomes) et les propriétés de fermeture sémantiques (isomorphisme, ultraproduits) ; certaines classes naturelles ne sont élémentaires qu'après ajout de schémas ou en passant à des langages enrichis.

Synthèse

Une classe élémentaire est la classe des modèles d'une théorie du premier ordre : un ensemble de structures axiomisable syntaxiquement dont le comportement model-théorique est gouverné par la logique du premier ordre.