Une dégradation de la précision des solutions numériques d'ondes ou de type Helmholtz où des erreurs de phase s'accumulent avec la taille du problème ou la fréquence, entraînant une croissance d'erreur globale dépassant les estimations d'erreur de discrétisation locale.

Principe

Résulte du fait que des erreurs locales de phase ou de dispersion par élément produisent un décalage de phase cumulatif sur de nombreuses longueurs d'onde ou grands domaines ; l'erreur croît avec la taille du problème (ou le nombre d'onde) sauf si la discrétisation est affinée au-delà des critères locaux habituels.

Démonstration

En résolvant l'équation de Helmholtz à des nombres d'onde élevés avec un maillage d'éléments finis d'ordre fixé, la phase de la solution calculée dérive progressivement à travers le domaine, et l'erreur L2 peut augmenter avec le nombre d'onde malgré la précision locale des éléments, illustrant l'effet de pollution.

Mauvaise application

Supposer que réduire uniquement l'erreur de troncation locale (par exemple des éléments plus petits mais même ordre polynomial) résout le problème peut être faux ; sans traiter la dispersion et l'accumulation globale de phase, les erreurs peuvent persister voire s'amplifier.

Conséquence

L'effet de pollution contraint à employer des méthodes d'ordre supérieur, des stratégies de raffinement de maillage liées à la longueur d'onde ou des schémas contrôlant la dispersion pour retrouver la précision ; l'ignorer donne des résultats peu fiables en propagation d'ondes, diffusion et résonance.

Inversion

Dans un régime sans pollution, les erreurs globales évoluent de manière cohérente avec l'erreur de discrétisation locale et le raffinement du maillage ou l'augmentation de l'ordre polynomial réduit l'erreur de façon prévisible ; l'absence de croissance anormale avec le nombre d'onde indique l'absence de pollution.

Limite

Concerne principalement la propagation d'ondes, les équations de Helmholtz et les EDP oscillatoires à fréquences moyennes à élevées, ainsi que les discrétisations où la précision de phase est cruciale ; ne se réfère pas à des sources d'erreur globale non reliées telles qu'une incohérence des conditions aux limites ou des tolérances du solveur.

Tension sémantique

Étroitement lié à la dispersion numérique et à l'erreur de phase ; l'effet de pollution met l'accent sur l'accumulation globale de ces erreurs locales de dispersion à mesure que la taille du problème ou la fréquence augmente, tandis que la dispersion en elle‑même peut être caractérisée localement.

Synthèse

L'effet de pollution est la détérioration globale de la précision des solutions d'ondes due à l'accumulation d'erreurs de phase/dispersion qui croissent avec la taille du problème ou le nombre d'onde ; l'atténuer exige des méthodes maîtrisant la dispersion à l'échelle globale, pas seulement localement.