Une formulation de la dynamique classique dans laquelle l'évolution d'un système mécanique est encodée par une équation aux dérivées partielles pour une fonction d'action S(x,t) — l'équation Hamilton–Jacobi H(x,∇S,t) + ∂S/∂t = 0 — reliant principes variationnels, transformations canoniques et ODE caractéristiques.

Principe

La dynamique découle de l'extrémisation d'une action ; l'équation Hamilton–Jacobi fournit une fonction génératrice dont le gradient donne les moments canoniques et dont les caractéristiques coïncident avec les équations de Hamilton, réduisant l'intégration du mouvement à la résolution d'une PDE du premier ordre.

Démonstration

La résolution de l'équation Hamilton–Jacobi pour un hamiltonien séparable fournit des intégrales complètes dont les dérivées fournissent des quantités conservées et des solutions explicites des trajectoires des particules, et se relie à l'optique géométrique via la limite eikonale.

Mauvaise application

Traiter des actions classiques multivaluées comme si elles étaient monovaluées sans principes de sélection/viscosité, ou tenter des transformations canoniques globales lorsque les intégrales nécessaires n'existent pas en raison de non-intégrabilité ou de singularités.

Conséquence

Permet la construction de fonctions génératrices pour transformations canoniques, la réduction de la dynamique à des quadratures lorsque des intégrales complètes existent, et constitue un pont vers la quantification semi-classique via les approximations WKB et l'analyse de fonctions de phase.

Inversion

La perspective directe des EDO newtoniennes du second ordre où les forces définissent l'accélération sans recours à une action ou à une PDE pour une fonction scalaire génératrice ; ou la description lagrangienne exprimée uniquement en vitesses plutôt que via les moments hamiltoniens et l'action.

Limite

S'applique aux systèmes hamiltoniens déterministes, conservatifs ou convenablement dépendants du temps où un principe d'action est valide ; exige de la prudence face aux caustiques, solutions multivaluées et hamiltoniens non convexes où les notions de solutions classiques échouent et où des solutions de viscosité ou faibles sont nécessaires.

Tension sémantique

Tension entre le point de vue PDE (l'action comme champ scalaire satisfaisant la PDE HJ) et le point de vue ODE des caractéristiques (courbes intégrales résolvant les équations de Hamilton), ainsi qu'entre l'intégrabilité classique (intégrales complètes) et la dynamique chaotique non intégrable générique.

Synthèse

La Théorie Hamilton–Jacobi formalise la dynamique classique comme une PDE du premier ordre pour une action dont les gradients donnent les moments canoniques et dont les caractéristiques sont les trajectoires hamiltoniennes, unissant principes variationnels, transformations canoniques et limites semi-classiques tout en requérant un traitement attentif de la multivaleur et des notions de solutions faibles.