Une équation aux dérivées partielles non linéaire du premier ordre de la forme |∇u(x)| = f(x) (classiquement |∇T(x)| = 1/c(x)), caractérisant le temps d'arrivée ou la phase d'un front en propagation en reliant la norme du gradient d'un champ scalaire à la vitesse ou à la lenteur spatiale.

Principe

Apparaît comme limite haute fréquence (optique géométrique) des équations d'ondes ou à partir de principes variationnels minimisant le temps de trajet ; les solutions encodent des surfaces de temps de parcours dont les caractéristiques suivent des rays déterminés par le champ de vitesse du milieu.

Démonstration

Calcul du temps d'arrivée d'un front sismique dans un modèle de Terre hétérogène en résolvant |∇T(x)| = 1/v(x), les ensembles de niveau représentant la position du front d'onde à différents instants.

Mauvaise application

Traiter l'équation comme si des solutions classiques et lisses existaient toujours et négliger la théorie des solutions de viscosité, ce qui peut conduire à sélectionner des branches multivaluées non physiques ou à échouer aux caustiques où les caractéristiques se croisent.

Conséquence

Fournit des informations géométriques sur la propagation des fronts, les fonctions distance et les cartes de chemin minimal ou de temps de trajet minimal ; les méthodes numériques adaptées produisent des approximations monotones et stables des solutions de viscosité.

Inversion

Une équation parabolique ou de diffusion où l'information se propage de façon diffusives plutôt que par fronts nets, entraînant un lissage au lieu de surfaces d'arrivée bien définies ; ou traiter le problème avec des modèles d'ondes complets plutôt qu'avec l'approximation haute fréquence.

Limite

Valable comme description d'ordre dominant pour les ondes haute fréquence et la propagation de fronts lorsque la phase varie rapidement par rapport à la longueur d'onde ; exclut les effets de dispersion ou de diffraction et nécessite des conditions aux limites/initiales appropriées et le concept de solution de viscosité pour la bien-posabilité.

Tension sémantique

Tension entre l'interprétation classique du gradient point par point et le cadre faible/solutions de viscosité requis pour l'unicité ; aussi entre les approximations d'optique géométrique basées sur l'équation eikonale et les modèles d'onde complets qui incluent amplitude et interférences.

Synthèse

L'Équation Eikonale est la PDE de l'optique géométrique qui relie la norme du gradient d'une phase ou d'un champ de temps de parcours à la lenteur locale, produisant des ensembles de niveau représentant des fronts propagés ; son emploi correct exige la sélection de solutions de viscosité et la conscience de sa limitation aux régimes non dispersifs d'ordre dominant.