Une procédure basée sur la projection qui construit des fonctions de base empiriques avec un ensemble de nœuds d'interpolation (ou degrés de liberté) choisis par un algorithme glouton pour approximer efficacement des opérateurs dépendant de paramètres ou non linéaires dans un contexte d'ordre réduit.

Principe

Utiliser des instantanés de l'action de l'opérateur pour sélectionner vecteurs de base et points d'interpolation de sorte que l'opérateur puisse être approché par interpolation dans la base réduite ; la sélection gloutonne minimise l'erreur d'interpolation maximale sur l'ensemble d'entraînement et permet une évaluation en ligne rapide.

Démonstration

Combiner la POD avec EIM (ou DEIM) pour un modèle réduit de Navier–Stokes : calculer les modes POD, utiliser EIM pour choisir des nœuds d'interpolation et une base empirique pour le terme convectif non linéaire, puis évaluer le terme non linéaire uniquement aux nœuds sélectionnés et reconstruire sa représentation réduite pour une simulation en ligne rapide.

Mauvaise application

Sélectionner trop peu de nœuds d'interpolation, utiliser un jeu d'entraînement non représentatif ou ne pas orthogonaliser les fonctions de base peut produire des approximations d'opérateurs inexactes et de l'instabilité dans les simulations réduites en ligne.

Conséquence

Bien entraînée, EIM procure d'importants gains en ligne en réduisant le coût d'évaluation des opérateurs non linéaires ou dépendants de paramètres, permettant des analyses en temps réel ou pour de nombreuses requêtes tout en conservant une précision acceptable.

Inversion

Évaluation en pleine échelle de l'opérateur non linéaire à chaque degré de liberté et à chaque pas de temps ; la réversion est précise mais coûteuse en calcul et va à l'encontre de l'objectif de réduction de modèle.

Limite

EIM s'appuie sur une phase d'entraînement hors ligne et suppose que le comportement de l'opérateur est bien capturé par les instantanés ; elle peut avoir des difficultés avec des opérateurs qui changent de structure en dehors du domaine d'entraînement ou avec des espaces de paramètres extrêmement haute dimension sans stratégies hiérarchiques.

Tension sémantique

Concurrence et complémentarité avec la collocation, l'échantillonnage parcimonieux et d'autres techniques d'hyper-réduction : EIM met l'accent sur la sélection gloutonne de points d'interpolation liée à une base empirique, tandis que des alternatives peuvent utiliser un échantillonnage aléatoire ou un placement de capteurs basé sur l'optimisation avec des compromis différents.

Synthèse

EIM est une stratégie d'interpolation gloutonne et guidée par les données qui, associée à une base réduite comme la POD, sélectionne des nœuds d'interpolation et des fonctions de base pour approximer efficacement des opérateurs non linéaires et permettre des évaluations réduites en ligne rapides avec erreur contrôlée.