Une technique semi-analytique qui construit une déformation continue (homotopie) d'un problème facile vers le problème cible plus difficile et qui construit une solution en série convergente en utilisant un opérateur linéaire auxiliaire et un paramètre explicite de contrôle de convergence.

Principe

Placer le problème original dans une famille d'homotopies paramétrée par un paramètre d'enfoncement et choisir un opérateur linéaire auxiliaire ainsi qu'un paramètre de contrôle de la convergence (souvent noté ħ) pour façonner la déformation et contrôler la convergence de la série sans exiger l'existence d'un petit paramètre physique.

Démonstration

Résoudre un problème aux limites non linéaire en choisissant un opérateur linéaire simple L, une estimation initiale u0, construire l'équation d'homotopie H(u,p)=(1−p)L[u−u0]+pħN[u]=0 avec p∈[0,1], développer u en puissances de p et déterminer les coefficients de sorte que la série résultante en p (p→1) converge vers la solution lorsque ħ est choisi adéquatement.

Mauvaise application

Choisir un opérateur auxiliaire médiocre ou un paramètre de contrôle de convergence inadapté peut conduire à une lente convergence ou à la divergence ; traiter ħ comme arbitraire sans tester son influence compromet la fiabilité.

Conséquence

Si on le règle correctement, HAM fournit un développement systématique en série contrôlé par un paramètre qui peut converger pour des non-linéarités fortes et offre une flexibilité supérieure aux méthodes de perturbation classiques.

Inversion

La réversion est une expansion perturbative autour d'un petit paramètre physique dont la convergence dépend de l'existence de ce petit paramètre ; contrairement à HAM, la réversion ne dispose pas d'un bouton de contrôle explicite pour la convergence.

Limite

Efficace pour des opérateurs analytiques et des problèmes aux limites où un opérateur linéaire auxiliaire et une approximation initiale sont disponibles ; moins efficace ou plus complexe pour des problèmes non analytiques, des modèles discrets de très grande dimension ou des systèmes chaotiques sans adaptation.

Tension sémantique

Partage des objectifs avec VIM et ADM—construire des solutions en série—mais se distingue par l'introduction explicite d'un opérateur linéaire auxiliaire et d'un paramètre de contrôle de convergence pour réguler et étendre le domaine de convergence au-delà des régimes à petit paramètre.

Synthèse

HAM crée une homotopie paramétrable qui transforme continûment un problème simple en le problème cible et, en sélectionnant un opérateur auxiliaire et un paramètre de contrôle de convergence, produit une représentation en série contrôlable et souvent convergente de la solution face à des non-linéarités fortes.