Une borne probabiliste indépendante de la loi qui affirme que, pour toute variable aléatoire de moyenne finie μ et de variance finie σ² non nulle, la probabilité que la variable s'écarte de sa moyenne d'au moins k écarts-types est au plus 1/k², pour k>0.

Principe

Un compromis moyenne-variance : la variance contrôle la probabilité maximale des queues sans aucune hypothèse sur la forme de la distribution.

Démonstration

Pour une variable aléatoire X de moyenne μ et de variance σ², appliquer l'inégalité de Markov à la variable non négative (X−μ)² donne P(|X−μ| ≥ kσ) ≤ E[(X−μ)²]/(k²σ²) = 1/k². Cela vaut que X soit continu, discret ou à queues lourdes tant que σ² est finie.

Mauvaise application

Employer l'inégalité de Chebyshev pour affirmer un comportement précis des queues pour de petits k ou pour des lois connues pour être à queues fines ; ou l'utiliser lorsque la variance est infinie ou non définie, rendant la borne sans sens.

Conséquence

Fournit une borne supérieure simple et indépendante du modèle sur les probabilités de queue et une garantie de base pour la concentration fondée sur la variance ; elle sert souvent à justifier des intervalles de confiance prudents en l'absence d'informations sur la loi.

Inversion

Inverser l'énoncé montre qu'une décroissance rapide des queues (par exemple exponentielle) entraîne des bornes beaucoup plus fortes que 1/k² ; Chebyshev représente donc l'extrémité faible et indépendante de la distribution de la gamme des inégalités de concentration.

Limite

Nécessite une variance finie et une moyenne significative ; elle n'est ni précise ni informative pour de petits k, pour des variables à variance infinie, ou quand des moments d'ordre supérieur sont disponibles.

Tension sémantique

S'oppose à des inégalités de concentration plus fines (Hoeffding, Chernoff, bornes sous-gaussiennes) qui supposent davantage de structure : Chebyshev échange la force de la conclusion contre des hypothèses minimales.

Synthèse

L'inégalité de Chebyshev relie un seul moment d'ordre deux à une borne garantie sur la probabilité de déviation : c'est la borne universelle et la plus faible qui découle de la connaissance uniquement de la moyenne et de la variance.