Une relation de réciprocité en élasticité linéaire qui énonce : pour deux systèmes de chargement statiques admissibles, le travail (travail virtuel ou énergie) du premier système effectué par les déplacements engendrés par le second est égal au travail du second effectué par les déplacements engendrés par le premier.

Principe

La linéarité et la symétrie (auto-adjonction) de l'opérateur de raideur élastique entraînent l'interchangeabilité de la charge et du déplacement dans le produit de travail virtuel ; la réciprocité découle de la superposition et des formes d'énergie bilinéaires symétriques.

Démonstration

Considérer une poutre élastique avec deux cas de chargement distincts : le cas A applique une charge ponctuelle en x1 produisant le champ de déplacements uA, le cas B applique une charge en x2 produisant uB. La relation de Betti affirme que la force en x1 multipliée par le déplacement en x1 dû à B est égale à la force en x2 multipliée par le déplacement en x2 dû à A, ce qui permet de calculer des coefficients d'influence sans résoudre entièrement les deux problèmes.

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des problèmes géométriquement ou matériellement non linéaires, à des systèmes avec forces non conservatives (dépendantes du chemin) ou à des conditions aux limites incompatibles ; l'utiliser en présence de grandes déformations ou de plasticité conduit à des égalités incorrectes.

Conséquence

Lorsqu'il est valide, il réduit l'effort expérimental et numérique en permettant d'intervertir mesures de charge et de réponse, soutient les méthodes par coefficients d'influence et l'identification par réciprocité, et fournit des contrôles de cohérence pour les solutions numériques.

Inversion

Dans une situation non réciproque — par exemple avec lois constitutives inélastiques, grandes déformations, matériaux actifs ou chargements non conservatives — l'égalité disparaît et le travail dépend du chemin de chargement ; la réciprocité se transforme en non-équivalence des travaux croisés.

Limite

Valide pour des problèmes linéaires, élastiques, à petites déformations, statiques, avec cinématiques compatibles et charges conservatives ; exclut l'élasticité non linéaire sans symétrie additionnelle, la plasticité, la viscoélasticité dépendante du temps sauf linéarisée, et les effets d'inertie dynamiques sauf formulation réciproque adaptée.

Tension sémantique

Proche d'autres énoncés de réciprocité (par ex. la réciprocité de Green en théorie du potentiel ou les formulations Maxwell–Betti) ; la tension apparaît lorsqu'il faut distinguer l'appui spécifique sur l'auto-adjonction en élasticité de principes plus larges de réciprocité potentielle.

Synthèse

Le Théorème de Réciprocité de Betti affirme que l'auto-adjonction des opérateurs d'élasticité rend la forme bilinéaire du travail symétrique, de sorte que, pour des paires charge-déplacement admissibles en statique linéaire, le travail croisé est interchangeable — un outil pratique de calcul et de validation, valable uniquement sous hypothèses linéaires et conservatives.