Une solution qui possède les dérivées classiques (ponctuelles) requises par les équations gouvernantes de sorte que les relations différentielles tiennent presque partout ; appartient typiquement à des espaces de fonctions de régularité supérieure (Ck ou Sobolev d'ordre élevé).

Principe

Imposer une régularité suffisante pour que tous les opérateurs différentiels du modèle puissent être évalués point par point et que l'EDP soit satisfaite au sens classique ; s'obtient souvent par méthodes énergétiques, bootstrap de régularité ou lissage parabolique.

Démonstration

Pour l'équation de la chaleur, une solution forte u(t,x) peut être C1 en temps et C2 en espace et satisfaire ∂_t u − Δu = f point par point pour presque tout (t,x) ; cette régularité découle souvent de données initiales lisses et de conditions aux limites compatibles.

Mauvaise application

Supposer qu'une solution calculée numériquement ou solution variationnelle est forte sans vérifier la différentiabilité ou les conditions de compatibilité peut conduire à l'usage erroné d'identités point par point, à une application incorrecte des principes du maximum ou à des estimations d'erreur invalides.

Conséquence

Lorsqu'une solution forte existe, l'unicité, la dépendance continue vis-à-vis des données et la vérification directe des lois de conservation ponctuelles suivent généralement, et l'on peut appliquer des techniques classiques des EDP (principe du maximum, méthodes caractéristiques).

Inversion

L'inverse est la notion de solution faible où l'EDP n'est satisfaite qu'au sens intégré ou distributionnel et où les dérivées ponctuelles peuvent ne pas exister.

Limite

Exige que le domaine, les données initiales et aux bords et le terme source permettent la régularité supérieure ; exclut les solutions avec chocs, coins ou singularités où les dérivées classiques échouent ou n'existent qu'au sens faible.

Tension sémantique

Tensions entre solutions fortes et solutions mild (par semigroupes) ou faibles : les solutions mild peuvent être moins régulières mais assurer le bien-posage quand la différentiabilité classique n'est pas disponible, tandis que les solutions fortes permettent des conclusions plus fortes.

Synthèse

Une solution forte est la réalisation classique d'un modèle : elle possède suffisamment de lissage pour évaluer les opérateurs différentiels point par point, autorisant les manipulations PDE directes, les arguments d'unicité et l'application d'estimations classiques, à condition que les données et le domaine soutiennent cette régularité.