Une notion généralisée de solution dans laquelle les équations différentielles (ou intégrales) gouvernantes sont satisfaites au sens intégré ou distributionnel contre des fonctions-tests, plutôt qu'au sens point par point ; les exigences de régularité sont relâchées de sorte que les dérivées existent seulement au sens faible (distributionnel).

Principe

Remplacer l'évaluation point par point des dérivées par la dualité avec des fonctions-tests lisses à support compact (intégration par parties), ce qui permet d'utiliser des méthodes d'existence et de compacité à une régularité plus faible.

Démonstration

Pour l'équation de Poisson −Δu = f sur un domaine, une solution faible u appartient à l'espace de Sobolev H1 et vérifie ∫_Ω ∇u·∇φ = ∫_Ω f φ pour toute fonction-test φ ; cette formulation permet de résoudre des problèmes quand u n'a pas de dérivées classiques du second ordre.

Mauvaise application

Considérer une solution faible comme fournissant des valeurs de dérivées point par point et la substituer directement dans l'EDP terme à terme sans vérifier les propriétés de trace ou d'injection peut conduire à des conclusions erronées sur la régularité ou le comportement aux bords.

Conséquence

Adopter la formulation faible produit en général des résultats d'existence plus larges et la convergence par compacité des approximations (éléments finis, méthodes de Galerkin), mais peut nécessiter des arguments supplémentaires pour retrouver l'unicité ou une régularité supérieure.

Inversion

La solution forte (classique) est l'inverse : une solution qui satisfait les équations différentielles point par point presque partout car elle possède les dérivées classiques requises.

Limite

S'applique lorsque les identités d'intégration par parties et les espaces de Sobolev ou des distributions ont un sens ; exclut les interprétations exigeant des dérivées classiques point par point, des singularités de masse ponctuelle hors du cadre distributionnel, ou des conditions aux limites non exprimables par traces.

Tension sémantique

Conflit avec des notions comme solution de viscosité ou solution mild : les solutions faibles privilégient les identités variationnelles ou distributionnelles, tandis que d'autres notions mettent l'accent sur des principes de comparaison ou des formulations par semi-groupes pour les problèmes évolutifs.

Synthèse

Une solution faible est l'incarnation variationnelle ou distributionnelle d'une EDP : elle échange la différentiabilité point par point contre des identités intégrées contre des fonctions-tests, permettant l'existence et l'approximation à régularité réduite tout en renvoyant la récupération des dérivées classiques à des résultats de régularité supplémentaires.