Forme de solution d'une équation aux dérivées partielles dans laquelle une onde (profil) se propage à vitesse constante sans changer de forme, typiquement exprimable comme une fonction d'une coordonnée co-mouvante telle que x - ct ou d'un profil voyageant U(x - ct).

Principe

Si une EDP admet des solutions ne dépendant que d'une combinaison espace-temps (par exemple x - ct), la dimension du problème se réduit et la vitesse de propagation et la forme satisfont une équation différentielle ordinaire ou une relation d'équilibre définissant un mouvement conservant la forme.

Démonstration

Pour l'équation d'advection linéaire u_t + c u_x = 0 la solution générale u(x,t)=f(x-ct) est une onde progressive de vitesse c. Dans les systèmes non linéaires dispersifs, des solutions solitaires voyageant apparaissent comme des solitons, par exemple un soliton KdV de profil sech^2(x-ct) qui se déplace sans se déformer.

Mauvaise application

Qualifier de « onde progressive » tout signe mobile alors que son profil s'élargit, se déforme ou que la vitesse de propagation varie en temps ou en espace ; par exemple, appeler paquet d'ondes gaussien dispersif une onde progressive est trompeur.

Conséquence

Identifier une forme d'onde progressive permet de réduire une EDP à une EDO pour le profil, de calculer explicitement la vitesse de propagation et d'effectuer une analyse de stabilité focalisée sur la forme mobile ; cela autorise aussi l'utilisation des lois de conservation et des méthodes de plan de phases.

Inversion

Une onde stationnaire ou un paquet d'ondes dispersif : le motif oscille sur place ou s'étale dans le temps au lieu de se traduire en conservant sa forme ; mathématiquement, des solutions dépendant séparément de x et t plutôt que de x - ct.

Limite

S'applique aux propagations conservant la forme à vitesse (approximativement) constante ; exclut les ondes modulées à enveloppe variant lentement, les paquets d'ondes dispersifs, les solutions avec perte de rayonnement et les phénomènes où la vitesse ou la forme dépend du temps ou d'un forçage extérieur.

Tension sémantique

En tension avec la notion de perturbation propagative ou de paquet d'ondes : l'onde progressive est un objet strict préservant sa forme, tandis qu'un paquet d'ondes ou une onde modulée peut se déplacer tout en changeant d'amplitude, de spectre ou d'enveloppe.

Synthèse

Une onde progressive est une solution d'EDP qui conserve sa forme en se propageant, caractérisée par la dépendance à une coordonnée co-mouvante (p.ex. x - ct), ce qui permet de la réduire à une EDO déterminant son profil et sa vitesse constante.