Un état d'un système dynamique où toutes les dérivées temporelles s'annulent (f(x)=0 pour les systèmes autonomes), produisant une solution invariante dans le temps des équations gouvernantes.

Principe

Les équilibres se trouvent en résolvant les conditions algébriques de stationnarité ; le comportement local se détermine par la linéarisation (valeurs propres du Jacobien), sauf en cas de dégénérescence qui invalide l'approximation linéaire.

Démonstration

Pour le système linéaire x' = Ax, x = 0 est un équilibre dont la stabilité dépend des valeurs propres de A : parties réelles négatives impliquent une stabilité asymptotique, parties réelles positives une instabilité, et parties réelles nulles exigent une analyse d'ordre supérieur.

Mauvaise application

Traiter un équilibre dans un système non autonome ou forcé périodiquement comme invariable dans le temps, ou se fier uniquement à la linéarisation lorsque le Jacobien présente des valeurs propres à partie réelle nulle, peut conduire à une mauvaise caractérisation de la stabilité.

Conséquence

La classification correcte des équilibres fournit des modèles locaux du portrait de phase (nœuds, selles, foyers, centres), oriente les objectifs de contrôle et l'analyse de bifurcation, et aide à prédire la réponse aux perturbations.

Inversion

Une solution dépendant du temps ou périodique (cycle limite, orbite quasipériodique) remplace l'idée d'un état fixe par un mouvement continu ; l'inverse, figer le mouvement en un équilibre, n'arrive que pour des limites de paramètres particulières.

Limite

Le concept d'équilibre s'applique aux systèmes autonomes et aux états stationnaires des EDP dissipatives après réduction appropriée ; il exclut les attracteurs intrinsèquement dépendants du temps et les situations où des contraintes ou lois de conservation interdisent des points stationnaires isolés.

Tension sémantique

Tension entre « point d'équilibre », « point fixe » et « point critique » : en dynamique des systèmes « équilibre » met l'accent sur l'invariance temporelle du flot, tandis que « point fixe » s'emploie largement pour les applications et fonctions, et « point critique » dans les contextes variationnels.

Synthèse

Un point d'équilibre est une solution de vitesse nulle dans l'espace des états dont la classification locale via la linéarisation et les termes d'ordre supérieur organise la dynamique voisine et soutient les analyses de stabilité, contrôle et bifurcation.