Une relation spécifique au matériau qui relie des grandeurs cinématiques ou de champ (déformation, gradient, taux) à des grandeurs de réponse (contrainte, flux, variables internes) et qui ferme le système d'équations de bilan dans les modèles continus.

Principe

Les relations constitutives fournissent la fermeture en codant les règles de réponse microstructurale du matériau, respectant des principes comme l'indifférence de cadre, la cohérence thermodynamique (production d'entropie/inequality de Clausius-Duhem), la localité ou non-localité, et la dépendance aux taux ou à l'histoire.

Démonstration

L'élasticité linéaire donne σ= C:ε (loi de Hooke) comme relation constitutive linéaire entre la contrainte de Cauchy σ et le tenseur des petites déformations ε ; un fluide newtonien utilise τ=2μD(u) pour la contrainte visqueuse τ proportionnelle au taux de déformation D(u).

Mauvaise application

Appliquer une loi élastique linéaire hors de son domaine (grandes déformations, plasticité, comportement dépendant du temps) ou négliger des contraintes thermodynamiques nécessaires, entraînant des prédictions non physiques comme une dissipation négative ou la perte d'objectivité.

Conséquence

Une relation constitutive bien posée fournit une fermeture physique des lois de conservation, détermine la réponse du matériau (raideur, viscosité, hystérésis) et dicte les propriétés mathématiques (hyperbolicité, parabolicité, bien-posage) du système d'EDE/PDE gouvernant.

Inversion

Une contrainte purement cinématique (par ex. incompressibilité div u=0) ou une loi de conservation n'est pas une relation constitutive ; les lois constitutives spécifient la réponse du matériau, tandis que les contraintes ou lois de conservation restreignent les champs admissibles sans fournir de règle de réponse matérielle.

Limite

Les relations constitutives sont définies à l'échelle continue et s'appliquent aux matériaux ou milieux effectifs ; elles excluent les descriptions atomistiques sauf si des hypothèses d'homogénéisation sont faites, et les formes constitutives non linéaires, dépendantes du taux ou stochastiques requièrent l'énonciation explicite de leur domaine de validité.

Tension sémantique

Il existe une tension entre relations constitutives et ajustement empirique : une loi constitutive peut être phénoménologique et ajustée aux données tout en devant satisfaire invariance et principes thermodynamiques ; inversement, des modèles dérivés du microstructurel peuvent manquer de simplicité analytique, imposant des compromis.

Synthèse

Une relation constitutive est la loi de fermeture spécifique au matériau qui prescrit comment des champs tels que contrainte ou flux dérivent de variables cinématiques ou thermodynamiques ; elle relie microstructure et lois de bilan, contraint le comportement admissible et détermine le caractère mathématique qualitatif du modèle.