Une fonction K(x,y) apparaissant sous le signe d'intégrale qui couple la variable source y à la variable de champ ou d'évaluation x, définissant ainsi une transformée intégrale ou un opérateur intégral agissant sur des fonctions de y pour produire des fonctions de x.

Principe

Le noyau intégral encode comment les valeurs en un point influent sur celles en un autre via l'intégration ; les propriétés de K (symétrie, régularité, séparabilité, singularités) déterminent les propriétés de continuité, de régularité et spectrales de l'opérateur associé.

Démonstration

Le noyau de convolution K(x,y)=k(x-y) définit une transformée invariante par translation (f * k)(x)=∫ k(x-y)f(y) dy ; la fonction de Green G(x,y) d'un opérateur différentiel joue le rôle de noyau intégral qui mappe des sources en solutions.

Mauvaise application

Considérer toute fonction de deux variables comme un noyau bien comporté sans vérifier l'intégrabilité, la bornitude ou les singularités distributionnelles (par exemple supposer qu'une fonction de Green singulière définit un opérateur borné sur L2 sans précision).

Conséquence

Pour un noyau suffisamment régulier, on obtient un opérateur linéaire borné ou compact dont les propriétés (lissage, rang, spectre) découlent de la structure du noyau ; cela rend possibles les développements en valeurs propres et la quadrature numérique.

Inversion

La multiplication ponctuelle par une fonction a(x) n'est pas un opérateur intégral non local : elle correspond à un noyau de type δ, K(x,y)=a(x)δ(x-y), mettant en contraste l'action locale et l'accouplement intégral non local.

Limite

Le terme concerne les noyaux intervenant dans des transformées intégrales et des opérateurs sur des espaces mesurables ou fonctionnels ; il exclut les emplois non liés du mot « noyau » tels que l'espace nul d'une application linéaire, sauf si l'on parle explicitement d'un noyau à deux variables.

Tension sémantique

On confond souvent le noyau intégral (fonction à deux variables), le noyau reproduisant en RKHS (avec contraintes de positivité) et le noyau algébrique/espace nul ; ces notions se recoupent mais imposent des structures et hypothèses différentes.

Synthèse

Le noyau intégral est la règle à deux variables K(x,y) qui spécifie comment on assemble par intégration les contributions en y pour obtenir la valeur en x ; ses caractéristiques analytiques et algébriques gouvernent la régularité, l'inversibilité et le comportement numérique de l'opérateur.