Une application lisse f : M -> N entre variétés différentiables dont la différentielle df_p est surjective en tout point p de M ; localement elle se comporte comme une projection d'un produit, abaissant la dimension en produisant des images tangentes complètes au niveau cible.

Principe

La surjectivité de la différentielle est l'idée organisatrice : une submersion a un rang égal à dim N partout, conférant des propriétés de trivialité locale (par le théorème de la submersion) et permettant de couvrir la cible par des images de cartes locales où f ressemble à la projection sur les dernières coordonnées.

Démonstration

La projection canonique R^{n+k} -> R^n est le modèle de submersion ; des exemples plus géométriques comprennent la projection d'un produit de variétés M × N -> N ou une submersion surjective d'un groupe de Lie vers un espace homogène, qui présente localement le domaine comme un produit fibré.

Mauvaise application

Confondre une submersion avec une application quotient ou supposer que les fibres sont des points est une erreur : les fibres d'une submersion sont des sous-variétés (de dimension complémentaire) et peuvent être non triviales ; de plus, la surjectivité de l'application elle-même est indépendante de la surjectivité de la différentielle.

Conséquence

Une submersion correcte fournit des structures locales de produit, assure que les préimages des valeurs régulières sont des sous-variétés, et sous-tend des constructions de type fibré et de bundle ; elle permet des techniques comme le découpage (slicing) et la réduction par symétrie.

Inversion

La notion inverse met l'accent sur l'injectivité des différentielles (immersions) ou sur les applications critiques où la différentielle n'est pas surjective, produisant des fibres singulières et des obstructions à la décomposition locale en produit.

Limite

La submersion a un sens seulement dans la catégorie lisse avec des espaces tangents ; elle exclut les applications continues sans différentiabilité, et le théorème exige souvent des hypothèses supplémentaires (régularité, connexité) pour des conclusions globales.

Tension sémantique

La submersion entre en tension sémantique avec la notion de fibré et celle d'application quotient : bien que tous les fibrés aient un comportement local de produit, toute submersion n'est pas nécessairement un fibré globalement ; de même, les applications quotient peuvent projeter sans satisfaire la surjectivité différentielle.

Synthèse

Une submersion est l'application de type projection en géométrie différentielle : ses différentielles surjectives produisent des fibres qui sont des sous-variétés et fournissent une décomposition locale en produit du domaine au-dessus de la cible, fondement de nombreuses constructions en géométrie et analyse globale.