Un isomorphisme d'un objet vers lui-même : un morphisme bijectif préservant la structure a : X → X possédant un inverse a^{-1}, représentant une symétrie ou une auto-équivalence de l'objet.

Principe

Les automorphismes sont les auto-applications inversibles qui préservent toute la structure de l'objet ; ils forment un groupe pour la composition (le groupe d'automorphismes) et codent les symétries internes.

Démonstration

Une rotation de 90 degrés d'un carré considéré comme objet géométrique est un automorphisme ; un opérateur linéaire bijectif sur un espace vectoriel est un automorphisme dans la catégorie des espaces vectoriels.

Mauvaise application

Qualifier d'automorphisme toute bijection des ensembles sous-jacents alors qu'elle ne respecte pas la structure supplémentaire (opérations d'anneau, topologie), ou confondre endomorphismes non inversibles avec des automorphismes.

Conséquence

Les automorphismes organisent les problèmes de classification : les objets se décomposent souvent en orbites sous le groupe d'automorphismes et les invariants sont des fonctions constantes sur ces orbites ; les groupes d'automorphismes mesurent la symétrie et la rigidité.

Inversion

Un endomorphisme dépourvu d'inverse n'est pas un automorphisme ; la perte d'inversibilité fait disparaître la structure de groupe et de nombreuses conclusions sur la symétrie.

Limite

Les automorphismes exigent la préservation de la structure que la catégorie encode (opérations algébriques, topologie, ordre) ; un même ensemble sous-jacent peut avoir moins d'automorphismes lorsque la structure est renforcée.

Tension sémantique

Automorphisme versus permutation : une permutation de l'ensemble sous-jacent n'est pas nécessairement un automorphisme à moins de préserver la structure ; tension également entre automorphismes intérieurs et extérieurs en contexte algébrique.

Synthèse

Un automorphisme est un auto-morphisme inversible saisissant une symétrie réelle de l'objet : en tant qu'éléments d'un groupe ils organisent les auto-équivalences de l'objet et déterminent invariants et orbites.