Un morphisme e : A → B qui est cancellatif à droite : pour toute paire de morphismes parallèles g,h à codomaine Y, ge = he implique g = h. Il abstrait l'idée d'une application surjective préservant la structure dans de nombreuses catégories concrètes, mais dépend de la catégorie considérée.

Principe

Un épimorphisme ne peut pas être distingué à droite par postcomposition : si deux morphismes sont égaux après composition avec un epi, ils étaient déjà égaux ; dans Ens toute application surjective est un epi, mais la réciproque et les analogues dépendent de la catégorie.

Démonstration

La projection canonique p : Z → Z/nZ est un épimorphisme dans Ens car composer deux fonctions qui coïncident sur Z/nZ par p donne l'égalité ; les applications quotient dans les catégories algébriques sont des exemples typiques d'epis lorsqu'elles sont surjectives au sens sous-jacent.

Mauvaise application

Prétendre qu'épimorphisme signifie toujours surjectif dans toutes les catégories, ou que tout epi admet une section (inverse à gauche) ; dans certaines catégories algébriques les épimorphismes ne sont pas pointuellement surjectifs ou ne se scindent pas.

Conséquence

Les epis servent de quotients catégoriques et sont au cœur des constructions de coégaliseurs ; identifier les epis clarifie quand un morphisme impose des identifications maximales dans son codomaine.

Inversion

Un morphisme non épimorphe peut être distingué par une postcomposition appropriée : il existe des g,h distincts tels que ge ≠ he, donc e n'impose pas les identifications requises sur le codomaine.

Limite

L'épimorphisme est défini uniquement par l'annulation des flèches à droite et n'est pas automatiquement une surjection point par point sauf dans des catégories comme Ens ; son comportement dépend des axiomes catégoriques ambiants.

Tension sémantique

Épimorphisme versus surjection : dans Ens ils coïncident, mais dans d'autres catégories ils divergent ; tension aussi avec 'épimorphisme régulier' ou 'épimorphisme scindé' qui ajoutent des propriétés (coégaliseur, section) absentes de la définition brute.

Synthèse

Un épimorphisme est la notion catégorique d'une flèche qui impose des identifications dans le codomaine de sorte que des post-compositions distinctes ne peuvent être rendues égales par composition avec elle : dans de nombreux cadres concrets cela coïncide avec une application surjective, mais le concept porte fondamentalement sur la cancellabilité à droite.