Une application bijective lisse entre variétés différentiables dont l'inverse est lui aussi lisse ; elle fournit une équivalence des structures différentiables en préservant cartes différentiables, dérivées et tenseurs lisses.

Principe

Deux variétés différentiables sont considérées identiques dans la catégorie lisse s'il existe une bijection lisse avec inverse lisse entre elles, garantissant que les structures différentiables et les propriétés issues du calcul correspondent par l'application.

Démonstration

Exemple simple : l'exponentielle exp : R → (0,∞) est une bijection lisse avec inverse lisse log ; ainsi R et (0,∞) sont difféomorphes en tant que variétés lisses de dimension 1.

Mauvaise application

Supposer qu'un homéomorphisme ou une bijection continue entre variétés est automatiquement un difféomorphisme néglige la différentiabilité : il existe des variétés homéomorphes qui n'admettent pas de bijection lisse avec inverse lisse (phénomènes de structures différentielles exotiques en dimensions supérieures).

Conséquence

Un difféomorphisme permet de transférer des structures différentielles : champs de vecteurs lisses, formes différentielles, constructions compatibles avec une métrique (lorsqu'une métrique est transportée) et les arguments locaux fondés sur les dérivées se traduisent exactement.

Inversion

Un homéomorphisme non lisse (ou dont l'inverse n'est pas lisse) distingue l'équivalence topologique de l'équivalence lisse et montre que des propriétés différentielles peuvent ne pas être préservées malgré une identité topologique.

Limite

Le difféomorphisme n'a de sens que dans la catégorie différentiable (lisse) ; il exclut les équivalences purement topologiques ou purement métriques et requiert des atlas lisses compatibles sur les variétés en jeu.

Tension sémantique

Le difféomorphisme entre en tension avec les isomorphismes analytiques ou réels-analytiques et avec les notions topologiques : la question est de savoir s'il faut préserver une structure infinité- fois différentiable, une structure analytique, ou seulement la topologie.

Synthèse

Un difféomorphisme est une bijection lisse avec inverse lisse qui identifie des variétés différentiables en préservant leur structure fondée sur le calcul.