Un mode d'échec dans lequel une suite bornée dans un espace de fonctions ne contient pas de sous-suite convergente fortement en raison d'effets de translation, de concentration ou d'oscillation ; la seule bornitude est insuffisante pour assurer la précompacité dans des domaines de dimension infinie ou non compacts.

Principe

La compacité exige à la fois le contrôle des normes et le contrôle de la concentration/fuite à l'infini et de l'oscillation ; la perte survient lorsque la masse se translate à l'infini, se concentre à des échelles qui tendent vers zéro ou oscille de plus en plus vite, ne produisant au mieux qu'une convergence faible.

Démonstration

Perte par translation : u_n(x)=u(x-n) dans L^p(R) est bornée mais n'a pas de sous-suite fortement convergente. Concentration : u_n(x)=n^{1/2} φ(n x) concentre la masse en un point et échoue à converger fortement. Oscillation : sin(n x) sur un intervalle borné converge faiblement vers 0 mais pas fortement en L^2.

Mauvaise application

Employer des arguments fondés sur la compacité (p. ex. extraire des sous-suites fortement convergentes) sans vérifier la propriété de tightness, l'invariance par translation ou l'équirégularité uniforme ; appliquer naïvement Rellich sur des domaines non compacts ou sous changement d'échelle.

Conséquence

La reconnaissance de la perte conduit à des décompositions concentration-compacité, des décompositions de profils, la compacité compensée, ou au travail avec des notions de convergence plus faibles (faible, mesure, mesures de Young) et à l'introduction de paramètres de modulation pour restaurer la compacité modulo invariances.

Inversion

La compacité garantit que toute suite bornée possède une sous-suite fortement convergente pour la topologie choisie, souvent grâce aux théorèmes d'injection accompagnés du contrôle des translations et des échelles.

Limite

Concerne la compacité fonctionnelle dans des espaces de Banach ou Hilbert et les injections (Rellich, Aubin) ; exclut le cadre de dimension finie où la bornitude implique la précompacité et les situations où des contraintes additionnelles (périodicité, décroissance, symétrie) restaurent la compacité.

Tension sémantique

Concurrence avec la convergence faible : la perte de compacité permet souvent des limites faibles, d'où la tension entre attendre une convergence forte ou accepter seulement des limites faibles ou en mesures ; se relie aussi aux mécanismes de concentration vs oscillation.

Synthèse

La perte de compacité est le phénomène par lequel la bornitude n'engendre pas de limites fortes sub-séquentielles parce que la masse s'échappe, se concentre ou oscille ; y remédier exige des décompositions, la modulation par invariances ou l'adoption de concepts de limite plus faibles.