Une singularité isolée d'une fonction complexe dont la série de Laurent autour de ce point contient infiniment de termes en puissances négatives, entraînant un comportement très oscillatoire et une distribution de valeurs dense au voisinage immédiat du point.

Principe

Si la partie principale de l'expansion de Laurent en une singularité isolée est de longueur infinie, la singularité est essentielle ; la continuation analytique proche de ce point montre une variabilité maximale des valeurs, non réductible à un pôle d'ordre fini ou à une discontinuité supprimable.

Démonstration

f(z) = exp(1/z) admet en z = 0 une série de Laurent avec une infinité de termes en puissances négatives ; quand z tend vers 0 la fonction prend, arbitrairement près de 0, toutes les valeurs complexes (à au plus une exception) infiniment souvent.

Mauvaise application

Traiter une singularité essentielle comme un pôle d'ordre fini et tenter de la classer ou de la supprimer en retranchant une partie principale finie conduit à des calculs de résidus faux et à des erreurs sur la borne ou l'existence de limites.

Conséquence

Une singularité essentielle ne peut être rendue analytique par une redefinition limitée à un nombre fini de termes ; la distribution locale des valeurs est sauvage, obligeant souvent à recourir à une surface de Riemann ou à des considérations de type Picard pour l'analyse locale.

Inversion

Si la partie en puissances négatives de la série de Laurent est finie, le point est un pôle d'ordre fini ; s'il n'y a pas de puissances négatives le point est supprimable — ces cas sont les opposés logiques d'une singularité essentielle.

Limite

Le concept s'applique aux singularités isolées de fonctions analytiques d'une variable complexe ; il exclut les points de branchement, les accumulations de singularités et les types de singularités en plusieurs variables où la classification locale diffère.

Tension sémantique

Il faut distinguer une singularité essentielle d'un amas dense de pôles ou d'une frontière naturelle : la singularité essentielle est un point isolé avec une queue principale infinie, tandis qu'un amas de singularités ou une frontière naturelle provient d'obstructions globales différentes.

Synthèse

La singularité essentielle est une singularité isolée caractérisée par une queue infinie de termes négatifs dans la série de Laurent ; elle n'est ni supprimable ni un pôle d'ordre fini et impose une variabilité locale extrême des valeurs.