Une conjecture ouverte en théorie des modèles selon laquelle toute théorie complète du premier ordre dans un langage dénombrable possède soit un nombre dénombrable soit un nombre continu de modèles dénombrables non isomorphes ; elle exclut les cardinalités intermédiaires pour le nombre de modèles dénombrables.

Principe

Dichotomie proposée : pour les théories complètes et dénombrables du premier ordre, l'ensemble des types d'isomorphisme de modèles dénombrables devrait avoir pour taille soit ℵ0 soit 2^{ℵ0} ; la conjecture impose une restriction globale sur la diversité des modèles dans le domaine dénombrable.

Démonstration

Des cas connus vérifient la dichotomie pour de larges classes : les théories ω‑stables ont un nombre dénombrable de modèles dénombrables, tandis que des exemples instables comme le graphe aléatoire fournissent un nombre continu. Ces exemples illustrent les deux extrêmes admis mais ne décident pas la conjecture générale.

Mauvaise application

Prendre la conjecture pour un théorème et l'appliquer à des langages non dénombrables ou à des théories incomplètes, ou supposer qu'elle contraint les modèles en cardinalités supérieures ; de tels usages ignorent le statut ouvert et les hypothèses spécifiques de la conjecture.

Conséquence

Si elle est vraie, la conjecture impose une classification globale forte des théories dénombrables, simplifiant les possibilités pour le nombre de modèles et orientant la théorie de classification ; un contre‑exemple révélerait un nouveau phénomène de complexité intermédiaire.

Inversion

La négation serait l'existence d'une théorie complète dénombrable ayant une cardinalité strictement intermédiaire de modèles dénombrables non isomorphes (par exemple ℵ1 sous certaines hypothèses de théorie des ensembles), montrant l'échec de la dichotomie.

Limite

La conjecture concerne les théories complètes du premier ordre dans des langages dénombrables et le nombre de modèles dénombrables non isomorphes uniquement ; elle ne s'applique pas aux théories incomplètes, aux modèles non dénombrables ni à d'autres logiques sans hypothèses supplémentaires.

Tension sémantique

Tension entre la complexité descriptive en théorie des ensembles (analyses boréliennes / turbulence) et les invariants de la théorie des modèles (stabilité, rang de Morley) ; la conjecture se situe à cette intersection et résiste à une résolution venant d'un seul côté.

Synthèse

La Conjecture de Vaught propose une dichotomie nette pour le nombre de modèles dénombrables non isomorphes d'une théorie complète dénombrable — soit dénombrable soit continu — et exprime une contrainte centrale non résolue sur la variation possible des modèles dénombrables.