Un théorème de la théorie des modèles affirmant que, pour une théorie complète du premier ordre en langage dénombrable, si la théorie est catégorique dans un certain cardinal non dénombrable κ alors elle est catégorique dans tous les cardinaux non dénombrables ; en d'autres termes, la catégoricité dans un cardinal non dénombrable entraîne la catégoricité sur tout le domaine non dénombrable.

Principe

L'unicité à une taille non dénombrable se propage : la rigidité structurelle impliquée par la catégoricité dans un cardinal non dénombrable donné, conjointe à la complétude et à la dénombrabilité du langage, impose un type d'isomorphisme unique pour les modèles de toute cardinalité non dénombrable.

Démonstration

Par exemple, la théorie des corps algébriquement clos de caractéristique fixée est catégorique dans tout cardinal non dénombrable : étant catégorique dans un cardinal non dénombrable (les modèles sont déterminés par le degré de transcendance), Morley assure la catégoricité dans tous les cardinaux non dénombrables, illustrant le phénomène de transfert.

Mauvaise application

Appliquer le théorème de Morley aux cardinaux dénombrables (s'attendre à la catégoricité en ℵ0 à partir d'un cas non dénombrable) ou omettre l'hypothèse que le langage est dénombrable et que la théorie est complète ; le théorème traite spécifiquement des cardinalités non dénombrables et de la logique du premier ordre dans un langage dénombrable.

Conséquence

Le théorème de Morley fonde des résultats de classification profonds : la catégoricité dans un cardinal non dénombrable implique des propriétés structurelles fortes comme l'ω-stabilité et permet une analyse fine des modèles (par ex. existence d'orthogonalité, analyse par types minimaux) à travers les tailles non dénombrables.

Inversion

Le cas inverse est une théorie catégorique dans certains cardinaux mais pas dans d'autres (en particulier ne l'étant dans aucun cardinal non dénombrable) ; un tel comportement survient lorsque les hypothèses de Morley ne sont pas satisfaites ou dans des contextes non premier-ordres.

Limite

Exige une théorie complète du premier ordre en langage dénombrable et l'hypothèse de catégoricité dans au moins un cardinal non dénombrable ; il n'aborde pas la catégoricité en cardinal dénombrable et ne s'étend pas directement aux langages non dénombrables ni aux logiques au-delà du premier ordre sans hypothèses supplémentaires.

Tension sémantique

Le transfert global de catégoricité de Morley interagit avec des notions locales comme l'ω‑catégoricité et la minimalité forte : la catégoricité en cardinaux non dénombrables implique des propriétés de douceur (ω‑stabilité, décomposition en types minimaux) mais ces notions locales ne garantissent pas automatiquement la catégoricité non dénombrable sans l'hypothèse globale.

Synthèse

Le théorème de Morley relie une instance unique d'unicité non dénombrable à l'unicité uniforme sur toutes les cardinalités non dénombrables pour les théories complètes du premier ordre en langage dénombrable : il transforme une rigidité ponctuelle en un principe de classification global qui a façonné la théorie moderne de la stabilité.