Un rang transfini (souvent noté U ou U-rank) attribué à des types complets ou à des formules qui généralise le rang de Morley en mesurant la profondeur des chaînes de forking ; il jauge combien d'extensions par forking un type admet successivement.

Principe

Défini inductivement via le forking : U(p) ≥ 0 pour tout type non algébrique p ; U(p) ≥ α+1 s'il existe une extension par forking q de p avec U(q) ≥ α ; pour un limite λ, U(p) ≥ λ si U(p) ≥ α pour tout α < λ. L'ordinal minimal (ou ∞) vérifiant la négation donne U(p).

Démonstration

Dans des théories superstables ou ω-stables, l'U-rank et le rang de Morley coïncident souvent sur les types ; par exemple, dans une théorie fortement minimale tout type non algébrique a U-rank 1, et dans de nombreux groupes stables l'U-rank stratifie les types selon la complexité du forking.

Mauvaise application

Tenter de calculer ou d'interpréter l'U-rank dans des théories instables où le forking n'a pas de bon comportement, confondre l'U-rank avec le rang de Morley sans vérifier la superstabilité, ou traiter l'U-rank comme une simple dimension sans référence aux extensions par forking.

Conséquence

La finitude de l'U-rank pour tous les types caractérise la superstabilité ; l'U-rank fournit une mesure quantitative de la profondeur du dividing et du forking, soutient des raisonnements inductifs en théorie de la classification et oriente la décomposition structurelle des types et des ensembles définissables.

Inversion

Un U-rank faible (fini) indique une modération et une profondeur de forking bornée ; un U-rank infini signale des chaînes de forking incontrôlées et oriente vers l'instabilité ou une complexité dépassant la superstabilité.

Limite

Bien défini pour les types et les formules dans des contextes où la théorie du forking est disponible (théories stables et superstables) ; peut être infini, trivial ou peu utile dans des théories du premier ordre générales sans hypothèses de stabilité.

Tension sémantique

Tension entre l'U-rank et le rang de Morley : ce sont deux rangs ordinaux mais l'U-rank est défini par la géométrie du forking et peut diverger du rang de Morley dans des contextes non superstables ; il entre aussi en tension avec le rang de Lascar et d'autres raffinements.

Synthèse

L'U-rank est un rang transfini basé sur le forking appliqué aux types qui généralise les notions de rang géométrique en mesurant la profondeur ordinale des extensions successives par forking, et constitue un outil central pour détecter et travailler la superstabilité.