Principe de la théorie des ensembles qui affirme : si un ensemble partiellement ordonné possède la propriété que tout sous-ensemble totalement ordonné (chaîne) admet une borne supérieure dans l'ensemble, alors l'ensemble ordonné contient au moins un élément maximal (un élément qui n'est strictement inférieur à aucun autre).

Principe

Transfert du local au global : l'existence de bornes supérieures pour les chaînes entraîne l'existence d'éléments maximaux ; principe non constructif équivalent à l'Axiome du Choix dans la théorie ZF.

Démonstration

Utilisé pour prouver que tout espace vectoriel possède une base : considérer l'ensemble partiellement ordonné des sous-ensembles linéairement indépendants par inclusion ; l'union d'une chaîne est une borne supérieure, donc le Lemme de Zorn fournit un ensemble linéairement indépendant maximal qui engendre l'espace, donc une base.

Mauvaise application

Appliquer le Lemme de Zorn alors que certaines chaînes n'ont pas de borne supérieure, ou confondre élément maximal et maximum ; attendre un témoin canonique ou constructible plutôt qu'une simple existence.

Conséquence

Assure l'existence d'idéaux maximaux dans les anneaux, de bases dans les espaces vectoriels, de bases de Hamel en dimension infinie, et d'autres résultats d'existence non constructifs ; équivalent à l'Axiome du Choix, il soutient de nombreuses preuves algébriques et d'ordre.

Inversion

La négation de l'hypothèse de Zorn donne des posets où certaines chaînes n'ont pas de borne supérieure et où l'on ne peut pas conclure à l'existence d'éléments maximaux ; l'absence du lemme permet des modèles de ZF avec un comportement d'existence différent.

Limite

S'applique uniquement aux ensembles partiellement ordonnés et exige que chaque chaîne possède une borne supérieure à l'intérieur du même poset ; il ne fournit pas de construction explicite de l'élément maximal et ne s'applique pas directement aux classes propres sans formulation supplémentaire.

Tension sémantique

Étroitement lié au Théorème Du Bon Ordre et à l'Axiome Du Choix (équivalents dans ZF), mais formulé comme un principe d'existence d'ordre plutôt que comme une assertion de choix ou d'ordre ; souvent confondu avec la maximalité finie ou avec l'existence d'un maximum.

Synthèse

Le Lemme De Zorn transforme une condition de bornes supérieures pour chaque chaîne en la garantie d'un élément maximal : un outil d'existence non constructif équivalent au choix et largement employé pour obtenir des maxima en algèbre et en théorie de l'ordre.