Pour une matrice carrée ou un opérateur linéaire borné A sur un espace de Banach, le rayon spectral ρ(A) est la borne supérieure des valeurs absolues des points du spectre de A ; pour une matrice c’est max{|λ|: λ valeur propre de A}.

Principe

Caractérisé par le théorème de la transformation spectrale et la formule de Gelfand : ρ(A)=lim_{n→∞}||A^n||^{1/n} pour un opérateur borné et toute norme d'opérateur, et il gouverne la croissance asymptotique des puissances de l'opérateur et le comportement du résolvant près du spectre.

Démonstration

Pour une matrice diagonale diag(λ1,…,λn) le rayon spectral vaut max_i |λ_i|. Une matrice nilpotente a rayon spectral 0 même si sa norme d'opérateur est positive. Une matrice stochastique a rayon spectral 1, et les puissances convergent ou oscillent selon la structure du spectre périphérique.

Mauvaise application

Confondre rayon spectral et norme d'opérateur ou plus grand valeur singulière : les normes majorent le rayon spectral mais ne lui sont pas égales en général ; supposer que ρ(A)<1 suffit à garantir la petitesse numérique rapide de toutes les puissances sans examiner le comportement non normal et les pseudospectres en contexte infinidimensionnel.

Conséquence

Contrôle le comportement à long terme des itérés A^n, la stabilité des systèmes dynamiques linéaires (ρ(A)<1 implique stabilité asymptotique en dimension finie) ; la formule du rayon spectral est centrale pour l'analyse de gaps spectraux et de convergence.

Inversion

Considérer la croissance de la norme plutôt que le rayon spectral met l'accent sur l'amplification selon une norme donnée mais peut négliger des taux asymptotiques déterminés par le spectre ; inversement, rayon spectral nul n'oblige pas l'opérateur à être nul en dimension infinie.

Limite

Défini pour les opérateurs bornés sur espaces de Banach et pour les matrices finies ; pour les opérateurs non bornés, la notion de spectre et de rayon spectral exige de préciser le domaine. Le rayon spectral rend compte de la magnitude spectrale mais pas de l'amplification directionnelle mesurée par les normes ou les pseudospectres.

Tension sémantique

Tension avec la norme d'opérateur et le rayon numérique : la norme mesure l'amplification maximale dans une norme donnée, les valeurs singulières l'amplification euclidienne, tandis que le rayon spectral saisit la magnitude asymptotique des valeurs propres et peut diverger fortement pour des opérateurs non normaux.

Synthèse

Le rayon spectral est la borne supérieure des modules des points du spectre, calculable pour les matrices à partir des valeurs propres et caractérisé asymptotiquement par la formule de Gelfand ; il est l'invariant spectral qui contrôle les taux de croissance exponentiels des puissances d'un opérateur et les propriétés de stabilité.