La classe d'équivalence d'un ensemble totalement ordonné sous les bijections qui préservent l'ordre (isomorphismes d'ordres) ; elle capture le schéma abstrait des comparaisons entre éléments indépendamment de leurs étiquettes ou de l'ensemble sous-jacent.

Principe

Deux ensembles totalement ordonnés ont le même type d'ordre si et seulement s'il existe une bijection entre eux qui préserve et reflète la relation d'ordre ; le type d'ordre est donc l'invariant de l'isomorphisme d'ordres.

Démonstration

Exemples : les entiers naturels avec l'ordre usuel ont le type d'ordre noté ω ; les entiers relatifs avec l'ordre usuel ont le type d'ordre bi-infini de Z ; les rationnels avec l'ordre usuel réalisent le type d'ordre dense et dénombrable sans points extrêmes. Ces exemples montrent l'abstraction de la structure d'ordre indépendamment des éléments.

Mauvaise application

Considérer comme identiques deux ordres non isomorphes parce qu'ils ont la même cardinalité, ou confondre type d'ordre et isomorphisme comme ensembles plutôt que comme structures ordonnées ; appliquer la notion à des ordres partiels sans préciser la totalité conduit à une erreur.

Conséquence

Lorsque deux ensembles ont le même type d'ordre, toutes les assertions d'ordre préservées par isomorphisme (sur l'ordre relatif, l'existence de successeurs/prédécesseurs, les points extrêmes, etc.) sont vraies dans l'un exactement lorsqu'elles le sont dans l'autre ; le type d'ordre permet de classer les structures ordonnées à relabellage près.

Inversion

Prendre l'ordre dual (inverse) donne un type d'ordre distinct mais étroitement lié ; l'inversion met en évidence l'importance de l'orientation — certains invariants s'échangent (par ex. premier vs dernier élément) tandis que d'autres restent inchangés.

Limite

Défini pour les ensembles totalement ordonnés (ordres linéaires) ; il ne s'applique pas directement aux ordres partiels, préordres ou ordres considérés avec une structure supplémentaire non ordinale sauf si cette structure est ignorée. Il fait également abstraction des étiquettes des éléments.

Tension sémantique

Le type d'ordre se distingue de concepts proches comme l'ordinal (types d'ordre bien ordonnés), l'isomorphisme d'ordres et la simple cardinalité ; la tension porte sur la classification par structure (bijections préservant l'ordre) versus par taille ou données supplémentaires.

Synthèse

Le type d'ordre est l'identité abstraite d'un ordre linéaire : la description complète des relations de comparaison à relabellage près, utile pour classer les ensembles totalement ordonnés selon leurs caractéristiques intrinsèques d'ordre.