L'anneau local hensélien minimal A^h associé à un anneau local (A,m), obtenu par un procédé universel, local et essentiellement étale qui rend vraie la lemmes de Hensel ; concrètement A^h est initial parmi les homomorphismes locaux de A vers des anneaux locaux henséliens et peut se construire comme colimite filtrée de voisinages étales.

Principe

Adjoindre les extensions locales minimales nécessaires pour que les propriétés de relèvement et de factorisation de polynômes garanties par le lemme de Hensel soient satisfaites, tout en demeurant le plus proche possible de l'anneau local d'origine et en préservant la structure résiduelle et locale au sens étale.

Démonstration

À partir d'un anneau local (A,m), former le système dirigé des A-algèbres étales munies de points locaux se projetant sur m et prendre la colimite ; l'anneau local obtenu A^h est hensélien et tout morphisme de A vers un anneau local hensélien se factorise de façon unique par A^h.

Mauvaise application

Confondre hensélisation et complétion (complétion m-adique) : la hensélisation n'est en général pas m-adiquement complète et n'introduit pas de limites de suites infinies, et supposer des propriétés de complétions (comme la complétude topologique) pour les hensélisations conduit à des erreurs.

Conséquence

La hensélisation préserve de nombreuses propriétés algébriques (p. ex. le corps résiduel, les propriétés étale-locales) tout en permettant le relèvement de racines et de factorisations ; c'est un remplacement minimal commode lorsque le lemme de Hensel est nécessaire mais que la complétion serait trop forte ou destructrice globalement.

Inversion

La complétion produit un anneau local m-adiquement complet qui peut être plus grand et complet topologiquement mais n'est pas minimal pour le lemme de Hensel ; la hensélisation stricte agrandit encore pour rendre le corps résiduel séparablement clos, contrairement à la hensélisation minimale.

Limite

S'applique aux anneaux locaux et schémas locaux ; c'est l'extension locale hensélienne minimale et se distingue de la hensélisation stricte et de la complétion. Elle n'est pas nécessairement finie sur A et n'est pas forcément complète ; la construction repose sur des morphismes étales, donc dans des contextes non-noethériens ou non-étales il faut de la prudence.

Tension sémantique

Il y a tension entre hensélisation, hensélisation stricte et complétion : ce sont des modifications locales servant des buts différents (propriété hensélienne minimale vs corps résiduel séparablement clos vs complétude topologique), et il faut choisir la notion appropriée pour des relèvements, descentes ou arguments topologiques.

Synthèse

La hensélisation est l'extension locale étale universelle minimale d'un anneau local qui assure le lemme de Hensel : elle préserve les données locales et du corps résiduel tout en autorisant le relèvement canonique des factorisations polynomiales sans recourir à la complétion topologique entière.