Un procédé qui fournit un morphisme birationnel propre f : X' → X depuis une variété ou un schéma lisse X' vers une variété ou un schéma algébrique X donné, tel que f soit un isomorphisme au-dessus du lieu régulier de X et que X' soit lisse ; réalisé en général par une suite finie d'éclatements et de transformations birationnelles contrôlées.

Principe

Remplacer ou dominer un objet algébrique singulier par un modèle lisse ayant le même corps de fonctions et coïncidant en dehors des points singuliers, ce qui permet de transférer les questions géométriques et cohomologiques au cadre lisse.

Démonstration

Pour une courbe plane à cuspide ordinaire y^2 = x^3, effectuer des éclatements successifs au point singulier pour obtenir une nouvelle courbe sans cuspide ; de façon générale, une suite d'éclatements centrés sur des sous-variétés lisses choisies avec soin résout de nombreuses classes de singularités en caractéristique zéro.

Mauvaise application

Supposer qu'une suite arbitraire d'éclatements résoudra toutes les singularités sans contrôler les centres, ou appliquer des procédures de résolution sans prudence dans des contextes où l'existence est délicate (p. ex. certains cas en caractéristique positive) et prétendre à tort à un résultat canonique ou unique.

Conséquence

Une résolution réussie permet d'utiliser des outils nécessitant la lissité (théorie d'intersection, dualité, diviseurs canoniques, techniques de Hodge) et produit souvent des invariants de la variété d'origine (discrépances, diviseurs exceptionnels) essentiels à la classification birationnelle.

Inversion

La singularisation ou les procédés de contraction contractent des diviseurs ou des lieux pour produire des modèles singuliers à partir de modèles lisses ; les programmes du modèle minimal introduisent des singularités contrôlées plutôt qu'une désingularisation complète.

Limite

Formulée typiquement pour des schémas ou variétés de type fini sur un corps ; l'existence est bien établie en caractéristique zéro mais plus délicate et partiellement non résolue en grande dimension en caractéristique positive, et les catégories analytiques ou formelles nécessitent des énoncés adaptés. La résolution ne préserve pas en général des structures supplémentaires (par ex. actions de groupes) sans précaution.

Tension sémantique

Il existe une tension entre résolution et normalisation (la normalisation supprime la non-normalité mais n'aboutit pas nécessairement à la lissité) et entre la résolution complète et les approches qui admettent des singularités contrôlées (modèles minimaux) ; tension également entre résolutions canoniques/fonctorielles et algorithmes fondés sur des choix.

Synthèse

La résolution des singularités est un procédé birationnel — en général par éclatements contrôlés — qui remplace un objet algébrique singulier par un objet lisse le dominant, permettant de transporter les problèmes géométriques et cohomologiques vers la catégorie lisse tout en introduisant des diviseurs exceptionnels qui enregistrent les singularités initiales.