Une méthode pour définir des fonctions, suites ou classes indexées par les ordinaux en spécifiant la valeur en zéro, la règle au successeur d'un ordinal en fonction des valeurs antérieures, et la valeur en un ordinal limite comme fonction (souvent borne supérieure, réunion ou limite) des valeurs aux ordinaux plus petits.

Principe

Construire étape par étape le long des ordinaux bien ordonnés : cas de base, définition au successeur référant aux étapes précédentes, et règle au stade limite combinant de manière cohérente toutes les valeurs antérieures aux ordinaux limites.

Démonstration

Définir f sur les ordinaux par f(0)=0, f(α+1)=f(α)+1, et pour un limite λ poser f(λ)=sup{f(β): β<λ}. On obtient ainsi une suite croissante à valeurs ordinales définie pour tout ordinal par récurrence transfinie.

Mauvaise application

Tenter de définir la valeur en un ordinal limite uniquement en fonction de l'indice égal au limite (définition circulaire) ou omettre une règle pour les limites conduit à des constructions non définies ou mal posées.

Conséquence

La récurrence transfinie fournit des objets bien définis sur tous les ordinaux lorsque les règles de successeur et de limite sont correctement spécifiées ; elle sous-tend des constructions comme la hiérarchie cumulative des ensembles et les rangs de relations bien fondées.

Inversion

Inverser l'ordre bien fondé (essayer d'itérer « à rebours » à travers les ordinaux) est impossible car les ordinaux n'ont pas de chaînes décroissantes infinies ; une inversion naïve rompt le principe de récurrence.

Limite

S'applique aux indices bien ordonnés (ordinaux) ; ne s'applique pas directement aux ordres partiels arbitraires sans structure supplémentaire (comme la bien-fondation) ; il faut distinguer les récurrences de taille classe et de taille ensemble selon le cadre fondationnel.

Tension sémantique

Tension entre la récurrence finie ordinaire et la récurrence transfinie concernant le traitement des étapes limites : la récurrence finie omet ces étapes, alors que la récurrence transfinie nécessite une règle cohérente au stade limite, subtile et sensible aux fondements.

Synthèse

La récurrence transfinie généralise les définitions inductives finies à tous les ordinaux en donnant prescriptions de base, successeur et limite, de sorte qu'un objet unique est défini à chaque étape le long de la chaîne bien ordonnée, permettant des constructions indexées par des ordinaux.