Un triplet (X, Σ, μ) où X est un ensemble, Σ une σ-algèbre de parties de X, et μ : Σ → [0,∞] une fonction σ-additive (mesure) attribuant des valeurs réelles étendues non négatives aux ensembles mesurables, avec μ(∅)=0.

Principe

Assigner des « tailles » à des collections d'ensembles de façon stable par unions dénombrables et compléments (σ-additivité), permettant l'intégration et une interprétation probabiliste après normalisation.

Démonstration

La droite réelle R avec Σ l'algèbre des ensembles Lebesgue-mesurables et μ la mesure de Lebesgue est un espace mesurable : μ donne des longueurs (éventuellement ∞) aux ensembles mesurables et est σ-additive.

Mauvaise application

Considérer une fonction seulement finiment additive comme une mesure dans des contextes requérant la σ-additivité (par ex. le théorème de convergence dominée) entraîne des échanges limites-intégrales invalides.

Conséquence

Un espace mesurable fournit le cadre pour définir intégrales, espaces Lp, assertions presque partout et espaces de probabilité lorsque μ(X)=1 ; de nombreux théorèmes de convergence nécessitent la σ-additivité.

Inversion

En abandonnant la σ-additivité on obtient une mesure finiment additive (charge), qui peut modéliser certains phénomènes mais perd des théorèmes clés ; restreindre à une algèbre au lieu d'une σ-algèbre limite les ensembles mesurables.

Limite

Exclut les mesures extérieures sans critère de mesurabilité et les fonctions définies en dehors d'une σ-algèbre ; n'exige pas que l'espace soit complet (mesure de toutes les parties d'ensembles nuls) sauf indication contraire.

Tension sémantique

Tension entre la notion mathématique de « mesure » comme fonction σ-additive et l'usage courant du mot comme toute évaluation quantitative ; en analyse, la σ-additivité est le critère décisif.

Synthèse

L'espace mesurable (X,Σ,μ) formalise l'attribution de tailles non négatives à une σ-algèbre via une application σ-additive, constituant le cadre de l'intégration, de la probabilité et des espaces de fonctions.