Un ensemble partiellement ordonné dans lequel chaque paire d'éléments admet une borne supérieure minimale (jointure) et une borne inférieure maximale (rencontre).

Principe

La fermeture binaire par jointure et rencontre dote un poset de deux opérations algébriques représentant suprema et infima pour les paires, permettant une manipulation algébrique des relations d'ordre.

Démonstration

L'ensemble des parties d'un ensemble ordonné par l'inclusion est un treillis où la jointure est l'union et la rencontre l'intersection ; les sous-espaces d'un espace vectoriel ordonnés par inclusion forment souvent un treillis avec la somme et l'intersection comme opérations.

Mauvaise application

Supposer que tout poset est un treillis ou que la distributivité est toujours satisfaite ; beaucoup de posets n'ont pas de jointures/rencontres pour chaque paire et de nombreux treillis ne sont pas distributifs.

Conséquence

La structure de treillis permet un calcul algébrique de l'ordre (identités, homomorphismes, congruences) et ouvre la voie à des spécialisations (treillis distributifs, modulaires, treillis de Boole) possédant des propriétés renforcées.

Inversion

Un semi-treillis ne possède qu'une des deux opérations binaires (seulement la rencontre ou seulement la jointure) ; la suppression d'une opération affaiblit la structure et les identités disponibles.

Limite

La définition exige l'existence de jointure et rencontre pour chaque paire ; les treillis complets, qui exigent des suprema/infima arbitraires, sont une notion strictement plus forte ; les concepts d'ordre sans extrema paire-à-paire sont hors du champ du treillis.

Tension sémantique

Tension entre la vision du treillis comme objet d'ordre et comme objet algébrique via des opérations binaires : certains résultats privilégient le point de vue poset, d'autres le point de vue équationnel ; la distributivité crée un raffinement concurrent.

Synthèse

Un treillis unit ordre et algèbre : pour deux éléments donnés existent le supremum et l'infimum, fournissant des opérations binaires de jointure et de rencontre qui permettent un raisonnement algébrique sur l'ordre et la définition de sous-classes plus riches par ajout d'identités comme la distributivité ou la complémentation.