Un idéal propre P d'un anneau commutatif R tel que l'anneau quotient R/P soit un domaine intègre ; de façon équivalente, P est propre et si un produit ab appartient à P, alors au moins un des éléments a ou b appartient à P (le complémentaire R\P est multiplicativement fermé).

Principe

Les idéaux premiers repèrent un comportement multiplicatif irréductible dans les anneaux : ils empêchent l'existence de diviseurs de zéro dans le quotient et généralisent la notion de primalité des entiers aux anneaux arbitraires.

Démonstration

Dans Z, l'idéal pZ engendré par un entier premier p est un idéal premier car Z/pZ est un domaine intègre ; dans k[x,y], l'idéal (x) est premier car k[x,y]/(x) ≅ k[y], qui est un domaine.

Mauvaise application

Qualifier un idéal de premier uniquement parce qu'il est engendré par un élément irréductible dans un anneau qui n'est pas un UFD sans vérifier que le quotient est un domaine ; ignorer que l'idéal doit être propre.

Conséquence

Les idéaux premiers donnent des quotients qui sont des domaines intègres et jouent un rôle central en géométrie algébrique et en théorie des nombres (ils correspondent à des sous-ensembles fermés irréductibles et contrôlent les décompositions primaires).

Inversion

Un idéal dont le quotient contient des éléments nilpotents ou des diviseurs de zéro n'est pas premier ; l'inversion de la condition mène à des idéaux primaires ou radicaux plutôt qu'à des idéaux premiers.

Limite

La définition exige la commutativité pour l'équivalence standard avec la propriété produit nul ; dans les anneaux non commutatifs on utilise des notions plus subtiles d'idéaux premiers et il faut distinguer les conditions à gauche/droite.

Tension sémantique

L'intuition fondée sur les entiers d'un nombre premier comme atome peut induire en erreur dans des anneaux où éléments irréductibles et idéaux engendrés par ces éléments divergent ; la caractérisation par le complément multiplicatif rivalise avec celle par le quotient.

Synthèse

Un idéal premier est un idéal propre qui fait disparaître les diviseurs de zéro dans le quotient, fournissant une généralisation de la primalité contrôlant la factorisation et l'irréductibilité géométrique.