Une structure M munie d'une loi d'addition en groupe abélien et d'une action d'un anneau R (multiplication scalaire) compatible avec la multiplication et l'addition de l'anneau : r·(m+n) = r·m + r·n, (r+s)·m = r·m + s·m, et (rs)·m = r·(s·m).

Principe

Généraliser les espaces vectoriels en autorisant des scalaires provenant d'un anneau arbitraire plutôt que d'un corps, tout en préservant les contraintes de distributivité et d'associativité entre scalaires et éléments du module.

Démonstration

Tout groupe abélien est un Z-module via la multiplication par entiers ; R^n sur un anneau R est un R-module ; les modules sur des anneaux de polynômes apparaissent naturellement comme modules de coefficients dans des relations de récurrence linéaire.

Mauvaise application

Supposer que tout module possède une base et une dimension finie bien définie comme les espaces vectoriels, ou traiter des modules sur des anneaux non PID comme s'ils se décomposaient toujours en sommes directes de composantes cycliques.

Conséquence

Les modules étendent les techniques de l'algèbre linéaire aux situations sans division, permettant l'algèbre homologique, les résolutions et une théorie de classification riche dépendant des propriétés de l'anneau de base.

Inversion

Revenir à l'exigence que les scalaires forment un corps ramène au concept d'espace vectoriel ; de nombreux théorèmes se simplifient alors grâce à la division scalaire.

Limite

Les scalaires doivent provenir d'un anneau ; les modules ne sont pas nécessairement libres, de type fini ou projectifs. Exclut les actions par des structures ne satisfaisant pas les axiomes d'anneau sauf adaptation de la définition.

Tension sémantique

Tension entre la vue des modules comme représentations d'un anneau et comme généralisations de groupes abéliens ; les propriétés dépendent fortement du fait que l'anneau de base soit commutatif, PID ou non commutatif.

Synthèse

Un module est un groupe additif abélien doté d'une multiplication scalaire compatible par un anneau, une généralisation flexible de l'espace vectoriel qui soutient des méthodes algébriques et homologiques adaptées à l'anneau de base.