La relation selon laquelle une structure peut être injectée dans une autre par un homomorphisme injectif (plongement) qui préserve les interprétations de tous les symboles et, selon la notion précise, réfléchit les relations comme requis. La plongabilité signifie qu'une copie de la première structure existe à l'intérieur de la seconde à isomorphisme près sur son image.

Principe

Inclusion structurelle à isomorphisme près : la plongabilité s'organise autour de l'existence d'une application injective préservant la structure d'une structure vers une autre dont l'image est une sous-structure (ou satisfait les conditions de préservation/réflexion choisies) de la cible.

Démonstration

Exemple simple : le graphe consistant en un chemin de longueur n se plonge dans tout graphe plus grand qui contient un chemin de longueur n par l'application injective évidente ; les entiers en tant que groupe ordonné se plongent dans les rationnels en tant que groupe ordonné par l'inclusion. De tels plongements attestent que toutes les relations et opérations de la petite structure se réalisent à l'intérieur de la plus grande.

Mauvaise application

Confondre la plongabilité avec le fait d'être une sous-structure (l'image plongée peut ne pas être fermée par des opérations supplémentaires dans des langages avec symboles de fonctions, sauf si cela est précisé), ou traiter des homomorphismes non injectifs comme des plongements. Une autre erreur est de supposer que la plongabilité est symétrique ; en général elle ne l'est pas.

Conséquence

La plongabilité induit un préordre sur les types d'isomorphisme et est centrale pour les questions de classification et d'universalité ; savoir quelles structures se plongent dans quelles autres éclaire le transfert de propriétés, la construction de modèles universels et la notion d'obstructions minimales.

Inversion

Non-Plongabilité : la négation identifie des obstructions (invariants ou barrières combinatoires) qui empêchent toute application injective préservant la structure. Inverser la plongabilité mène au quotientage ou à l'effondrement de structure, pas à une relation symétrique.

Limite

Dépend de la convention de préservation/réflexion choisie : les plongements préservent en général fonctions et relations et sont injectifs ; les plongements élémentaires imposent des préservations du premier ordre supplémentaires. La plongabilité concerne des applications entre structures entières, non des correspondances arbitraires entre petits morceaux, et n'autorise pas l'ajout de nouveaux éléments du domaine cible dans l'application de plongement.

Tension sémantique

Plongabilité versus plongement élémentaire : la plongabilité exige la préservation au niveau de la signature, tandis que le plongement élémentaire exige la préservation de toutes les formules du premier ordre ; certains plongements sont élémentaires, la plupart non, et les confondre déforme la puissance modéliste de la notion.

Synthèse

La plongabilité formalise le fait qu'une structure peut être réalisée à l'intérieur d'une autre par une application injective préservant la structure : elle saisit l'idée d'un objet apparaissant comme une copie fidèle à l'intérieur d'un autre et organise les comparaisons, préordres et phénomènes d'universalité entre structures.