Un homomorphisme injectif f : M → N entre structures du même langage du premier ordre tel que pour toute formule du premier ordre φ(x1,...,xn) et tout tuple a de M, M ⊨ φ(a) si et seulement si N ⊨ φ(f(a)) ; autrement dit f préserve et reflète toutes les vérités du premier ordre avec paramètres de M.

Principe

L'élémentarité se caractérise par la conservation et la réflexion des formules du premier ordre : un plongement élémentaire identifie M à une sous-structure élémentaire de N, de sorte que M et son image satisfont exactement les mêmes propriétés du premier ordre avec paramètres provenant de M.

Démonstration

La carte diagonale d'une structure M vers un ultrapouvoir suffisamment saturé de M est élémentaire ; inversement l'inclusion d'un sous-modèle élémentaire M ⊆ N est un plongement élémentaire, ce qui justifie le transfert de propriétés définissables entre M et N.

Mauvaise application

Considérer comme élémentaire tout homomorphisme injectif ou tout plongement qui préserve les formules atomiques ou quantificateur-libres ; de telles applications peuvent ne pas préserver les formules existentielles ou universelles et échouer en élémentarité.

Conséquence

Les plongements élémentaires permettent le transfert d'énoncés du premier ordre et la construction de chaînes élémentaires et d'extensions élémentaires ; ce sont les morphismes de la théorie des modèles qui préservent la structure du premier ordre et soutiennent les notions de saturation et de compacité.

Inversion

Un plongement non élémentaire (simple plongement) peut préserver certains faits structurels mais ne pas refléter les vérités du premier ordre ; l'inversion souligne la différence entre la préservation syntaxique des faits atomiques et la préservation sémantique de toutes les formules du premier ordre.

Limite

L'élémentarité est une notion du premier ordre : elle exige une signature commune et concerne uniquement les formules du premier ordre ; elle ne garantit pas la préservation de propriétés infinitaires ou d'ordre supérieur ni d'invariants combinatoires hors du cadre du premier ordre.

Tension sémantique

Tension entre plongement élémentaire et équivalence élémentaire : deux structures peuvent être élémentairement équivalentes (même théorie) sans qu'il existe un plongement élémentaire entre elles ; l'élémentarité est plus forte que le partage de théorie mais plus faible que l'isomorphisme.

Synthèse

Un plongement élémentaire est une application injective qui préserve et reflète toutes les vérités du premier ordre, identifiant la source à une sous-structure élémentaire de la cible et permettant le transfert cohérent de propriétés définissables et modélistes.