Une règle d'inférence qui permet de déduire une instance d'une formule à partir d'une affirmation universellement quantifiée : de ∀x P(x) on peut inférer P(t) pour tout terme t approprié à substituer à x.

Principe

Une assertion quantifiant universellement sur tous les éléments d'un domaine autorise la substitution d'un terme arbitraire mais adéquat pour la variable liée, produisant une instance spécifique tout en préservant la vérité si la substitution évite la capture de variables.

Démonstration

Étant donné l'axiome ∀n ∈ N, n + 0 = n, on peut instancier pour obtenir 5 + 0 = 5 en substituant le nombre 5 à la variable liée n.

Mauvaise application

Instancier par un terme qui n'appartient pas au domaine, ou substituer un terme qui introduit la capture de variable (par exemple remplacer une variable liée par une expression contenant une variable quantifiée) invalide l'inférence.

Conséquence

Permet de déduire des conséquences concrètes à partir de lois générales, facilitant le passage de prémisses générales à des conclusions particulières dans des démonstrations et calculs.

Inversion

L'inverse est la généralisation universelle, qui tente d'inférer ∀x P(x) à partir d'instances ; contrairement à l'instanciation, la généralisation exige de s'assurer que l'instance était arbitraire et qu'aucune hypothèse supplémentaire n'a été faite.

Limite

Valide en logique du premier ordre et logiques apparentées où domaines et substitutions sont bien définis ; n'autorise pas l'instanciation entre différents triages ni dans des contextes modifiant la structure de liaison, et exige que le terme substitué soit libre pour la variable.

Tension sémantique

Une tension existe avec les règles existentielles : l'instanciation universelle donne des instances particulières mais ne produit pas d'affirmations d'existence ; confondre instanciation et introduction existentielle est une erreur sémantique fréquente.

Synthèse

Instantiation Universelle : règle de base et sûre en logique des prédicats standard qui produit des instances spécifiques à partir d'énoncés universels, à condition que les substitutions respectent le domaine, les types et l'évitement de capture.