Le principe selon lequel deux objets mathématiques (ensembles, relations, fonctions) sont identiques exactement lorsque leurs extensions coïncident : les ensembles ont les mêmes éléments, les fonctions donnent les mêmes valeurs pour tous les arguments, les relations valent pour les mêmes n-uplets.

Principe

L'identité est déterminée extentionnellement : l'égalité se ramène à l'accord sur l'appartenance ou le comportement entrée–sortie plutôt qu'à des propriétés intensionales ou descriptives.

Démonstration

En théorie des ensembles Zermelo–Fraenkel, l'axiome d'extensionalité stipule que si chaque élément de x est élément de y et réciproquement, alors x = y ; en théorie des fonctions, l'extensionalité fonctionnelle affirme f = g ssi pour tout x, f(x)=g(x).

Mauvaise application

Appliquer l'extensionalité là où des distinctions intensionales ou hyperintensionnelles importent (par exemple traiter comme identiques des contenus cognitifs, des sens, ou des textes de programme alors que leurs extensions divergent ou coïncident de manière inappropriée).

Conséquence

Soutient le raisonnement usuel sur l'égalité en théorie des ensembles, en algèbre et en programmation fonctionnelle : elle permet le remplacement, la simplification et l'identification abstraite fondés uniquement sur le comportement extentionnel.

Inversion

Les approches intensionales ou hyperintensionnelles inversent le principe en maintenant des distinctions entre objets qui concordent extentionnellement mais diffèrent par le mode de présentation, le contenu computationnel ou le sens fin.

Limite

Valide dans les cadres mathématiques extentionnels (théorie des ensembles, théories des types extentionnelles, nombreux contextes algébriques) ; elle ne s'applique pas sans modification aux logiques intensionales, aux sémantiques d'ordre supérieur intensionales ou aux situations exigeant une discrimination hyperintensionnelle.

Tension sémantique

Tension entre commodité mathématique et fidélité représentationnelle : l'extensionalité simplifie l'identité et le raisonnement mais peut occulter des distinctions importantes pour le sens, le calcul ou les rôles cognitifs.

Synthèse

L'extensionalité est le critère canonique d'identité pour de nombreux systèmes formels : elle réduit l'identité au comportement observable (appartenance ou entrée–sortie), permettant un raisonnement équationnel puissant tout en incitant à des traitements alternatifs là où des différences intensionales ou hyperintensionnelles sont pertinentes.