La règle en logique classique (propositionnelle et du premier ordre) selon laquelle une formule A est logiquement équivalente à sa double négation ¬¬A, autorisant l'inférence dans les deux sens entre A et ¬¬A.

Principe

Dans la logique classique, la négation est involutive : appliquer la négation deux fois restitue la proposition initiale, de sorte que A ↔ ¬¬A est valide et sert à introduire ou éliminer des paires de négations.

Démonstration

Si l'énoncé «Il pleut» est vrai, alors l'énoncé «Il n'est pas vrai qu'il ne pleut pas» est aussi vrai ; inversement, en logique classique, la vérité de «Il n'est pas vrai qu'il ne pleut pas» implique «Il pleut».

Mauvaise application

Prétendre ¬¬A → A dans des contextes constructifs ou intuitionnistes où cette implication n'est pas démontrable ; utiliser l'élimination de la double négation pour déduire une existence constructive à partir de ¬¬∃x P(x) sans fournir de témoin.

Conséquence

Permet la simplification des formules en supprimant des négations redondantes dans les preuves classiques et autorise des formes normales et des équivalences qui reposent sur l'élimination de la négation.

Inversion

En contraste, l'absence d'équivalence en logique constructiviste montre que, si A → ¬¬A est généralement démontrable, la réciproque ¬¬A → A échoue sans principes classiques tels que le tiers exclu.

Limite

Valable en logique propositionnelle et du premier ordre classiques ; elle ne s'applique pas en général en logique intuitionniste, minimale ou dans certaines logiques paraconsistantes où l'élimination de la double négation est invalide ou restreinte.

Tension sémantique

Tension entre l'identification classique de la vérité et la double négation et les significations constructives de l'existence et de la preuve, où ¬¬A est plus faible que A parce qu'il manque un témoin constructif direct.

Synthèse

Le Principe De La Double Négation exprime l'intuition classique selon laquelle nier une négation rétablit l'énoncé : dans les systèmes classiques il rend A et ¬¬A interchangeables, tandis que dans les cadres constructifs il souligne la distinction entre prouvabilité et simple non-réfutabilité.