Un objet syntaxique de la forme Γ ⇒ Δ (où Γ et Δ sont en général des multisets ou des suites finies de formules) exprimant que la conjonction des formules de Γ implique la disjonction des formules de Δ dans un système de séquents.

Principe

Le séquent internalise l'entaillement en un seul jeton de type formule afin que les règles d'inférence opèrent localement sur les composantes antécédente et conséquente, permettant une manipulation systématique de la structure de l'entaillement.

Démonstration

Exemple de séquent : {A, A→B} ⇒ {B}. Dans un calcul des séquents classique, les règles autorisent la transformation des prémisses en conséquents ; ce séquent unique affirme que A et A→B impliquent B.

Mauvaise application

Lire un séquent Γ ⇒ Δ comme une simple implication matérielle (∧Γ)→(∨Δ) sans respecter les règles structurelles ou le contexte, ou traiter les séquents comme des conditionnels sémantiques là où le calcul restreint les règles structurelles (par ex. séquents intuitionnistes à conclusion unique).

Conséquence

L'usage des séquents rend explicites les phénomènes structurels (affaiblissement, contraction, permutation, coupure) ; la représentation par séquents soutient des résultats méta comme l'élimination de la coupure et des stratégies systématiques de recherche de preuve.

Inversion

L'inversion consiste à échanger antécédent et conséquent (Δ ⇒ Γ) ou à convertir des jugements de séquent en théorèmes au niveau des formules dans un système de type Hilbert ; ces inversions mettent en évidence des asymétries (par ex. séquents intuitionnistes à conclusion unique).

Limite

S'applique dans le cadre des calculs des séquents et des cadres syntaxiques apparentés ; c'est un dispositif formel et non une valuation ou un modèle sémantique ; les séquents supposent un choix sur la nature de Γ/Δ (ensembles, multisets ou suites) et sur les règles structurelles autorisées.

Tension sémantique

Tension entre le séquent en tant que jeton syntaxique d'entaillement et d'autres représentations de l'entaillement (preuves de Hilbert, déduction naturelle, tableaux) : toutes expriment la conséquence mais répartissent différemment le travail logique au travers des règles et des contextes.

Synthèse

Un séquent est une représentation syntaxique concentrée de l'entaillement, Γ ⇒ Δ, conçue pour que des règles d'inférence locales manipulent les composantes antécédente et conséquente, permettant l'analyse structurelle et la transformation algorithmique des preuves.