Une formule qui ne contient ni connecteurs logiques (tels que ∧, ∨, →, ¬) ni quantificateurs ; en logique du premier ordre une formule atomique (atome) est typiquement un symbole de prédicat appliqué à un tuple de termes (y compris des atomes d'égalité), servant d'élément indivisible pour construire des formules complexes.

Principe

Les formules atomiques représentent des assertions élémentaires sur des termes ; les phrases complexes se forment en combinant des atomes par des connecteurs et des quantificateurs, et de nombreux systèmes de preuve réduisent le raisonnement à des manipulations d'atomes (p. ex. la résolution opère sur des clauses construites à partir d'atomes et de leurs négations).

Démonstration

En arithmétique du premier ordre, des expressions comme P(a,b) ou x = y (une fois les variables instanciées) sont des formules atomiques ; en revanche P(a) ∧ Q(a) n'est pas atomique car elle combine deux atomes avec un connecteur.

Mauvaise application

Traiter une phrase composée telle que R(x) ∨ S(y) ou une expression quantifiée ∀x P(x) comme atomique dans des procédures qui exigent des atomes (par exemple, fournir une formule non-atomique à un algorithme qui attend des atomes clos conduit à des erreurs).

Conséquence

Les atomes fournissent les éléments de base pour les formes normales syntaxiques (forme normale conjonctive/disjonctive, clauses) et pour le raisonnement automatisé : l'identification et la manipulation des atomes sont essentielles à l'unification, la résolution, la construction de modèles et les méthodes en tableau.

Inversion

Une formule moléculaire est l'inversion : toute formule construite en appliquant connecteurs ou quantificateurs à des atomes, dont le sens dépend de la composition et dont le comportement logique ne se réduit pas à une seule application de prédicat.

Limite

En logique propositionnelle les formules atomiques sont des variables propositionnelles ; en logique du premier ordre les atomes incluent les applications de prédicat et l'égalité ; certaines logiques étendues ajoutent des connecteurs intégrés ou des atomes du second ordre, ce qui modifie ce qui est considéré comme atomique.

Tension sémantique

La tension surgit entre « formule atomique » et « phrase atomique » (la première peut contenir des variables libres tandis que la seconde est fermée), et entre atomes clos (sans variables) utilisés en model-checking et atomes généraux employés dans les calculs de preuve.

Synthèse

Une formule atomique est l'assertion irréductible d'un langage logique : un prédicat (ou une égalité) appliqué à des termes, formant la base à partir de laquelle se construisent les formules complexes, les formes normales et les procédures de raisonnement automatisé.