Le processus par lequel des solutions initialement lisses de lois de conservation hyperboliques non linéaires ou d'équations aux dérivées partielles apparentées développent des discontinuités (chocs) en temps fini en raison de l'accentuation des ondes et de l'intersection des caractéristiques.

Principe

Les vitesses caractéristiques non linéaires dépendent de la solution elle-même ; lorsque des caractéristiques plus rapides dépassent des plus lentes, le gradient de la solution se resserre et une solution classique multi-valuée apparaîtrait, résolue physiquement par une solution faible discontinue qui satisfait les conditions de saut de Rankine–Hugoniot et une condition d'entropie sélectionnant le choc admissible physiquement.

Démonstration

Pour l'équation de Burgers inviscide u_t + u u_x = 0 avec un profil initial compressif et lisse, les caractéristiques se croisent après un temps fini et la pente diverge, produisant un choc dont la vitesse est donnée par la formule de Rankine–Hugoniot ; de même, des ondes compressives en dynamique des gaz forment des chocs décrits par les équations d'Euler.

Mauvaise application

Interpréter des oscillations numériques de Gibbs ou des gradients raides sous-résolus comme des chocs physiques, ou appliquer l'intuition de formation de chocs des lois de conservation scalaires directement à des systèmes dispersifs ou diffusifs sans vérifier les mécanismes de régularisation, conduit à un mauvais diagnostic du comportement de la solution.

Conséquence

La formation de chocs impose de reformuler le problème en termes de solutions faibles, exige des conditions de saut et une sélection d'entropie, requiert des méthodes numériques de capture ou d'ajustement de chocs, et introduit des processus irréversibles comme la production d'entropie et la génération possible de vorticité en écoulements multidimensionnels.

Inversion

Une raréfaction se forme lorsque les caractéristiques divergent plutôt que convergent ; au lieu d'une discontinuité on obtient un éventail auto-similaire continu qui lisse une région d'expansion, mécanisme inverse de la compression créant des chocs.

Limite

S'applique aux lois de conservation hyperboliques et aux systèmes où la non-linéarité conduit au croisement des caractéristiques ; elle exclut les régularisations dispersives où une microstructure oscillatoire remplace un choc classique, ainsi que les discontinuités de contact qui transportent la matière sans le même mécanisme de convergence caractéristique.

Tension sémantique

La tension réside entre le 'choc' en tant que discontinuité mathématique et des gradients raides mais continus dans des modèles visqueux ou dispersifs ; la régularisation numérique, la viscosité artificielle et les mécanismes physiques à petite échelle brouillent la distinction et compliquent l'interprétation de la formation de chocs en calcul discret.

Synthèse

La formation de chocs est le développement en temps fini de discontinuités à partir de données initiales lisses dans des problèmes hyperboliques non linéaires, provoqué par la convergence des caractéristiques ; son traitement correct remplace les solutions classiques par des solutions faibles satisfaisant l'entropie et les conditions de saut et modifie les bilans physiques.