Cadre mathématique qui choisit la façon la plus efficace de déplacer la masse d'une mesure de probabilité vers une autre sur un espace donné, en minimisant un fonctionnel de coût prescrit sur les couplages ou les applications (formulations de Monge et de Kantorovich).

Principe

Formuler le transport comme minimisation du coût total sous contrainte de conservation de la masse : choisir un plan de transport (mesure conjointe) ou une application de transport qui envoie une marginale sur l'autre et minimise l'intégrale du coût c(x,y). La dualité relie ce problème primal à des potentiels qui caractérisent l'optimalité.

Démonstration

Calculer la distance « Earth Mover » (Wasserstein‑1) entre deux distributions discrètes en résolvant un programme linéaire dont les variables sont les quantités de masse déplacées entre sites discrets ; en continu, obtenir une application de Monge résolvant une équation de Monge–Ampère lorsque la densité source est absolument continue et que le coût est quadratique.

Mauvaise application

Supposer qu'une application de Monge existe et est unique sans vérifier l'absolue continuité de la source ou la non‑dégénérescence du coût, ou appliquer la théorie à des mesures signées sans adapter les définitions, ce qui rend la minimisation mal posée et engendre des artefacts de « masse négative ».

Conséquence

Bien appliquée, elle fournit l'existence (plans de Kantorovich), souvent l'unicité des applications optimales sous régularité, une structure métrique sur les mesures de probabilité (distances de Wasserstein), des interprétations en flux de gradient et des liens avec des EDP et la géométrie (p. ex. Monge–Ampère, bornes inférieures de courbure de Ricci).

Inversion

Au lieu de minimiser le coût, on peut considérer la maximisation d'une récompense ou le transport avec contraintes supplémentaires (p. ex. capacités ou transport partiel), ce qui inverse les conditions de faisabilité/optimalité et produit d'autres variables duales et structures variationnelles.

Limite

S'applique aux mesures de probabilité sur des espaces métriques ou mesurables avec un coût spécifié ; exclut l'usage direct pour des mesures signées arbitraires, des « masses » non mesurables ou des problèmes sans coût bien défini ou sans condition de pushforward sans reformulation.

Tension sémantique

La distinction entre un plan de transport optimal (un couplage, pouvant fractionner la masse) et une application de transport optimale (un pushforward déterministe) est centrale : les plans existent toujours et sont plus généraux, les applications exigent des hypothèses supplémentaires.

Synthèse

La théorie du transport optimal rassemble la minimisation variationnelle du coût sous conservation de masse, la dualité convexe produisant des potentiels de transport, et des conséquences géométriques/EDP : elle fournit à la fois une métrique pour comparer des distributions et des plans ou applications concrets réalisant le transfert minimal.