Une équation cinétique integro-différentielle décrivant l'évolution temporelle d'une fonction de distribution mono-particulaire dans l'espace des phases, indiquant comment le transport libre, les forces extérieures et un opérateur de collisions modifient la densité de probabilité des positions et vitesses.

Principe

Conservation dans l'espace des phases combinée à un opérateur de collisions modélisant les interactions binaires (ou approximées multipartites) sous l'hypothèse du chaos moléculaire ; les collisions poussent vers une Maxwellienne locale et satisfont un théorème H d'augmentation d'entropie.

Démonstration

Modélisation d'un écoulement de gaz raréfié dans une chambre à vide où la longueur libre moyenne est comparable à la taille du système : résoudre l'équation de Boltzmann pour prédire les distributions de vitesses, la structure des chocs ou des coefficients de transport différents des prédictions du continu.

Mauvaise application

Employer l'équation de Boltzmann pour des liquides denses ou des systèmes fortement corrélés où les corrélations à trois corps (et plus) et les effets d'exclusion rendent l'hypothèse de chaos moléculaire invalide, entraînant des prédictions erronées.

Conséquence

Lorsqu'elle est valable, l'équation de Boltzmann fournit des coefficients de transport microscopiques et, par prise de moments et fermetures, retrouve les équations macroscopiques (Euler, Navier–Stokes) et les états stationnaires hors d'équilibre cohérents avec la théorie cinétique.

Inversion

L'équation de Liouville décrit l'évolution exacte à N corps dans l'espace des phases sans opérateur de collisions mais est intraitable ; la limite collisionnelle nulle est l'équation de Vlasov où les forces moyen-champ dominent et la relaxation par collisions disparaît.

Limite

S'applique aux gaz classiques dilués ou plasmas où les collisions binaires dominent et où les effets quantiques ou fortes corrélations sont négligeables ; exclut les régimes quantiques proches de l'équilibre, les fluides denses et les situations nécessitant des fermetures corrélationnelles complexes.

Tension sémantique

Tension avec les descriptions par champs continus (Navier–Stokes) qui supposent des variables macroscopiques et avec les modèles cinétiques collisionnels nuls (Vlasov) ou les approximations Fokker–Planck stochastiques traitant d'autres limites d'interaction.

Synthèse

L'équation de Boltzmann est un modèle cinétique qui encode la conservation et la relaxation collisionnelle dans l'espace des phases : elle condense la dynamique microscopique en une équation integro-différentielle exploitable dont les moments relient transport microscopique et comportements macroscopiques, et dont les limites mènent aux théories collisionless ou continues.