La propriété sans mémoire caractéristique d'un processus stochastique : conditionnellement à l'état présent, l'évolution future est indépendante du passé. Elle formalise la dynamique markovienne et sous-tend les chaînes et processus de Markov.

Principe

Pour une filtration et un processus X_t, pour s>t la loi conditionnelle de X_s donnée la σ-algèbre jusqu'à t dépend seulement de X_t ; les transitions factorisent par l'état courant et satisfont la cohérence de Chapman–Kolmogorov.

Démonstration

Une chaîne de Markov en temps discret sur un espace d'états fini vérifie P(X_{n+1}=j | X_n=i, historique)=P_{ij}, donc les étapes futures dépendent uniquement de l'état courant. De même, le mouvement brownien satisfait la propriété de Markov avec des incréments gaussiens indépendants du passé conditionnellement à la position présente.

Mauvaise application

Prétendre qu'un processus à dynamique dépendant du chemin ou avec état caché est markovien (par exemple en ignorant des variables latentes nécessaires) constitue une mauvaise application, entraînant des modèles de transition et des prévisions erronés.

Conséquence

Réduit la complexité de la modélisation probabiliste : permet méthodes de semi-groupes, équations de Chapman–Kolmogorov, espérances conditionnelles simples et algorithmes pratiques de simulation et d'inférence fondés uniquement sur l'état présent.

Inversion

Les processus non markoviens conservent la mémoire : leurs lois futures dépendent de trajectoires passées entières ou de variables latentes supplémentaires ; inverser la propriété met l'accent sur des noyaux dépendant de l'histoire et nécessite l'augmentation de l'espace d'état.

Limite

Exige une spécification précise de l'espace d'états, de la filtration et de la mesurabilité ; la propriété forte de Markov aux temps d'arrêt est une forme plus forte qui ne découle pas automatiquement de la propriété simple ; les processus en temps continu peuvent requérir la droite-continuité ou d'autres régularités.

Tension sémantique

Tension avec des notions telles que martingale ou mélange : la propriété de martingale porte sur la structure des espérances conditionnelles, pas nécessairement sur l'indépendance des transitions, et certains processus sont à la fois markoviens et martingales seulement sous des générateurs particuliers ; la simplification markovienne peut masquer une structure latente nécessaire.

Synthèse

La Propriété De Markov compresse l'histoire dans le présent : lorsqu'un processus est markovien, toute prédiction probabiliste, l'action du semi-groupe et l'analyse des transitions se formulent à partir de l'état courant uniquement, mais une modélisation correcte exige de vérifier l'exhaustivité de l'état et la mesurabilité ou d'augmenter l'état pour restaurer la markovianité si elle manque.