Théorème reliant les symétries continues d'une action (problème variationnel) aux quantités conservées des équations d'Euler–Lagrange : chaque symétrie différentiable correspond à un courant conservé ou à une constante du mouvement.

Principe

L'invariance de l'action sous une transformation continue paramétrée implique l'existence d'une quantité conservée le long des solutions des équations d'Euler–Lagrange ; la quantité conservée se construit à partir de la symétrie (courant de Noether).

Démonstration

L'invariance temporelle d'une action entraîne la conservation de l'énergie pour les équations du mouvement ; l'invariance par translation spatiale donne la conservation de la quantité de mouvement linéaire ; l'invariance par rotation donne la conservation du moment angulaire.

Mauvaise application

Appliquer le théorème de Noether à des systèmes dépourvus de formulation variationnelle (action), à des symétries purement discrètes sans adaptation, ou ignorer les contributions aux termes de bord peut conduire à des quantités conservées incorrectes ou manquantes.

Conséquence

Fournit une méthode systématique pour déduire des quantités conservées à partir des symétries, contraint la dynamique et explique pourquoi certains intégrales du mouvement persistent ; il est à la base de nombreuses lois de conservation en physique et pour des problèmes variationnels appliqués.

Inversion

La rupture d'une symétrie continue (explicite ou spontanée) supprime la loi de conservation associée, produisant la non-conservation ou des lois de conservation modifiées (par exemple avec termes sources ou anomalies).

Limite

Exige un principe d'action différentiable et une symétrie continue ; ne s'applique pas directement aux systèmes dissipatifs sans action, aux systèmes décrits uniquement par des équations phénoménologiques, ou aux situations où des termes de bord invalident les affirmations de conservation naïves.

Tension sémantique

Il faut distinguer les symétries globales (rigides) qui donnent des charges conservées des symétries locales (de jauge) qui peuvent produire des contraintes ou des descriptions redondantes plutôt que des charges conservées invariantes de jauge ; il existe aussi une tension avec les anomalies en contexte quantique.

Synthèse

Le théorème de Noether relie l'invariance continue d'une action aux quantités conservées de la dynamique d'Euler–Lagrange : identifier une symétrie, construire le courant de Noether et obtenir une quantité conservée qui structure et contraint le mouvement.