Dichotomie d'algèbre linéaire/théorie des opérateurs pour des équations de la forme (I − K)x = y où K est un opérateur compact (ou de Fredholm) : ou bien l'équation homogène admet uniquement la solution triviale et l'équation non homogène est résoluble pour tout y, ou bien l'équation homogène possède un espace de solutions non trivial de dimension finie et l'équation non homogène n'est résoluble que pour les y orthogonaux (ou annihilés) au noyau de l'adjoint. Elle relie la résolubilité aux propriétés du problème adjoint.

Principe

La résolubilité des équations linéaires avec perturbation compacte est gouvernée par l'interaction noyau/image : la compacité implique des noyaux et conoyaux de dimension finie, produisant une dichotomie entre résolubilité pleine et résolubilité modulo conditions d'orthogonalité déterminées par l'adjoint.

Démonstration

Pour une équation intégrale à noyau continu sur un domaine borné, l'opérateur associé K est compact et vérifie l'alternative de Fredholm : si (I−K)u = f admet une solution pour tout f alors l'homogène (I−K)u=0 n'a que la solution triviale ; si l'homogène admet des solutions non triviales alors la résolubilité du problème non homogène exige que f appartienne au complément orthogonal (ou à l'annulateur) du noyau de l'adjoint.

Mauvaise application

Utiliser l'alternative de Fredholm lorsque l'opérateur n'est pas compact ou pas de Fredholm (par exemple en présence de spectre essentiel) peut conduire à des conclusions fausses ; confondre orthogonalité et annulateurs dans des espaces de Banach non hilbertiens est une autre erreur courante.

Conséquence

Permet de réduire les questions de résolubilité à un problème de dimension finie, fournit des critères d'existence ou des obstructions, et sous-tend la théorie de l'indice pour les opérateurs de Fredholm ; elle permet la paramétrisation des ensembles de solutions et la détermination des conditions de compatibilité pour des problèmes intégral et aux limites appliqués.

Inversion

L'affirmation réciproque naïve — que l'existence pour tous les termes de droite implique un noyau adjoint trivial sans hypothèses de compacité — peut échouer ; la dichotomie repose sur la compacité/la structure de Fredholm et se dissout dans des contextes d'opérateurs généraux.

Limite

Nécessite que K soit compact ou, plus généralement, que (I−K) soit un opérateur de Fredholm ; la formulation par orthogonalité tient le plus directement en espaces de Hilbert (en utilisant l'orthogonalité) et doit être reformulée via les annulateurs en espaces de Banach. Sont exclus les opérateurs non bornés généraux, les problèmes dominés par le spectre essentiel et de nombreux cadres non linéaires.

Tension sémantique

Liée mais distincte de l'inversibilité et des notions d'indice : l'alternative de Fredholm traite la résolubilité et les obstructions en codimension finie, tandis que l'inversibilité exige noyau trivial et surjectivité ; elle se situe aussi près de la réduction de Lyapunov–Schmidt et de la théorie de l'indice de Fredholm.

Synthèse

L'Alternative de Fredholm organise les équations linéaires à opérateur compact en une dichotomie de résolubilité : la compacité engendre des obstructions de dimension finie qui s'annulent (donnant la résolubilité pour tout second membre) ou imposent des conditions de compatibilité/orthogonalité déterminées par l'adjoint, réduisant des problèmes de dimension infinie à des vérifications de dimension finie.