Propriété pour les inégalités différentielles partielles affirmant que, si u est une sous-solution et v une sur-solution satisfaisant u ≤ v sur le bord (ou à l'instant initial), alors u ≤ v sur tout le domaine (ou pour tous les temps ultérieurs). Elle permet de propager les inégalités de bord vers l'intérieur en exploitant la monotonie de l'opérateur.

Principe

L'ordre monotone est préservé par l'opérateur différentiel : si l'opérateur est monotone (ou si l'équation admet une structure de comparaison), l'ordre ponctuel imposé sur le bord ou la surface initiale s'étend à l'ensemble du domaine.

Démonstration

Pour l'équation de la chaleur, si u(x,t) et v(x,t) vérifient u_t − Δu ≤ 0 et v_t − Δv ≥ 0 dans un cylindre et u ≤ v sur la frontière parabolique, alors u ≤ v à l'intérieur ; en posant w = u − v et en appliquant le principe du maximum parabolique on obtient w ≤ 0.

Mauvaise application

Appliquer le principe lorsque l'opérateur sous-jacent n'est pas monotone (par exemple en présence d'un terme réaction fortement non monotone) ou lorsque les données de bord/initiales ne sont pas comparables ; cela entraîne des affirmations d'ordre erronées ou ignore des changements de signe dus à des coefficients non locaux ou changeant de signe.

Conséquence

Unicité des solutions dans de nombreuses classes de PDE (deux solutions ordonnées sur le bord doivent concorder si chacune est à la fois sous- et sur-solution), construction de barrières et estimations a priori, et stabilité des solutions sous perturbations ordonnées.

Inversion

L'énoncé inversé — qu'une sur-solution soit inférieure à une sous-solution — contredirait la monotonie et produit en général des contradictions ; en considérant la différence et en inversant les inégalités on voit qu'une telle inversion ne tient que dans des cas dégénérés (par exemple des solutions identiques).

Limite

Nécessite une structure de comparaison : ellipticité/parabolicité appropriée, monotonie de l'opérateur et hypothèse d'ordre sur le bord ou l'initiale. Sont exclus les opérateurs pleinement non monotones, certains opérateurs non locaux sans principe du maximum, ou les cadres sans régularité requise.

Tension sémantique

Proche des principes du maximum mais différent en portée : les principes du maximum fournissent des informations de localisation des extrémums pour une solution, tandis que les principes de comparaison relient deux fonctions distinctes par un ordre ; les deux recoupent lorsqu'on compare une solution à une barrière construite.

Synthèse

Le Principe de Comparaison est la règle qui convertit une contrainte d'ordre au bord ou à l'initiale en inégalités globales pour les PDE : sous monotonicité et hypothèse d'ordre, les sous- et sur-solutions restent ordonnées sur tout le domaine, fournissant unicité, bornes et stabilité en analyse et applications.