Énoncé selon lequel toute combinaison linéaire de solutions d'un problème linéaire homogène est elle-même une solution ; il permet de construire de nouvelles solutions par sommation dès que l'opérateur directeur est linéaire et homogène.

Principe

La superposition repose sur la linéarité de l'opérateur : l'opérateur appliqué à une somme est la somme des opérateurs appliqués à chaque terme, de sorte que les solutions homogènes se combinent sans engendrer de nouveaux termes sources.

Démonstration

Pour une EDO homogène y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, si y1 et y2 sont solutions alors c1 y1 + c2 y2 est une solution. Pour les EDP linéaires, les développements en modes et les fonctions de Green utilisent la superposition pour construire des solutions générales à partir de réponses de base.

Mauvaise application

Appliquer la superposition à des problèmes non linéaires où les interactions entre composantes produisent des termes supplémentaires, ou additionner des solutions qui ne satisfont pas les mêmes conditions aux limites ou initiales et qui ne sont donc pas valides.

Conséquence

La superposition permet la construction de l'espace des solutions par enveloppe linéaire, autorise les développements en séries de Fourier et en fonctions propres, et permet d'utiliser les réponses impulsionnelles pour construire des solutions à entrées arbitraires dans les systèmes linéaires.

Inversion

La négation correspond au comportement des systèmes non linéaires où des combinaisons de solutions ne satisfont pas l'équation gouvernante et où apparaissent de nouveaux phénomènes (harmoniques, couplage de modes) lors de la sommation.

Limite

Valable uniquement pour des équations linéaires homogènes et des conditions aux limites/initiales linéaires. Les problèmes non homogènes exigent une solution particulière plus la superposition des solutions homogènes, et les contraintes doivent être compatibles.

Tension sémantique

La superposition est parfois confondue avec des mélanges probabilistes ou avec la superposition quantique ; mathématiquement il s'agit d'une combinaison linéaire, tandis que dans d'autres contextes la phase, la cohérence ou l'interprétation statistique ajoutent des couches de sens.

Synthèse

Le principe de superposition est la règle algébrique selon laquelle les opérateurs linéaires homogènes permettent de construire toutes les solutions par combinaison linéaire de solutions de base, fondement des méthodes spectrales, modales et de transformée en analyse linéaire.