Propriété topologique d'un ensemble signifiant que toute suite d'éléments de l'ensemble possède une sous-suite convergente dont la limite appartient à l'ensemble ; équivalente dans les espaces métriques à la compacité séquentielle.

Principe

La compacité encode un comportement de dimension finie dans des contextes potentiellement infinis : elle empêche la fuite de masse vers l'infini et fournit des sous-suites convergentes, permettant des arguments d'extraction et des résultats de continuité.

Démonstration

Heine–Borel : dans R^n un sous-ensemble est compact si et seulement s'il est fermé et borné. Dans des espaces de Banach de dimension infinie, la boule unité n'est pas compacte, et la compacité des plongements (Rellich) fournit une convergence forte à partir de bornitude et de régularité.

Mauvaise application

Considérer que bornitude implique compacité en dimension infinie, ou confondre compacité séquentielle avec d'autres notions de compacité sans vérifier la topologie de l'espace.

Conséquence

Les ensembles compacts assurent l'existence de points d'accumulation et d'extrémums pour les fonctions continues, permettent des arguments d'extraction diagonale pour des suites de fonctions et font en sorte que des opérateurs continus atteignent des extrémums.

Inversion

La non-compacité autorise des suites échappant sans sous-suite convergente (fuite de masse à l'infini ou oscillations à petite échelle), nécessitant d'autres outils comme la tension, la compacité faible ou la concentration-compacité.

Limite

La compacité dépend de la topologie considérée ; dans les espaces métriques la compacité séquentielle équivaut à la compacité, mais dans les espaces topologiques généraux les notions (compacité dénombrable, compacité par points d'adhérence) diffèrent.

Tension sémantique

La compacité est souvent opposée à la complétude et à la bornitude ; alors qu'en dimensions finies elles coïncident (avec la fermeture), en dimensions infinies ces concepts divergent et doivent être distingués des opérateurs compacts versus ensembles compacts.

Synthèse

La compacité est la propriété qui impose la convergence par sous-suites et un comportement de type dimension finie dans un ensemble topologique, soutenant les arguments d'existence, de continuité et de stabilité lorsque la convergence directe manque.