Forme bilinéaire (sur R) ou sesquilinéaire (sur C) positive définie sur un espace vectoriel qui met en correspondance deux vecteurs pour produire un scalaire, satisfaisant la conjugaison symétrique, la linéarité dans une composante et la positivité, et qui induit une norme par ||v|| = sqrt().

Principe

Un produit intérieur encode l'information géométrique — longueurs et angles — sur un espace vectoriel ; il permet de définir l'orthogonalité, les projections, les bases orthonormées et conduit à des décompositions spectrales lorsque des conditions de complétude sont satisfaites.

Démonstration

Le produit scalaire standard = Σ x_i y_i sur R^n définit la norme euclidienne et l'orthogonalité ; dans les espaces de fonctions, le produit intérieur L^2 = ∫ f(x) conj(g(x)) dx induit la norme L^2 et la projection de fonctions sur des sous-espaces.

Mauvaise application

Utiliser une forme bilinéaire qui n'est pas positive définie ou omettre la conjugaison dans les espaces complexes (perdant ainsi la positivité) rendra invalides les résultats d'orthogonalité et de projection ; supposer que tout espace à produit intérieur admet une base orthonormée sans complétude est incorrect.

Conséquence

Un produit intérieur fournit un moyen canonique de mesurer angles et longueurs, de définir projections et décompositions orthogonales, et d'énoncer et d'utiliser le théorème spectral pour des opérateurs auto-adjoints dans les espaces de Hilbert, ouvrant des techniques géométriques et analytiques puissantes.

Inversion

Remplacer un produit intérieur par une forme bilinéaire indéfinie (par exemple une métrique lorentzienne) supprime la positivité et modifie les notions d'orthogonalité et les propriétés spectrales ; le remplacer par un simple couplage non dégénéré sans positivité change également l'interprétation géométrique.

Limite

Les produits intérieurs exigent un espace vectoriel sur R ou C et la positivité définie ; ils se distinguent des couplages bilinéaires généraux ou des métriques sur variétés (qui peuvent être indéfinies) et des simples appariements duals dépourvus de symétrie ou de positivité.

Tension sémantique

Il existe une tension entre « produit intérieur » et « forme bilinéaire » puisque cette dernière peut être indéfinie ou dégénérée ; de même, le terme entre en concurrence avec « tenseur métrique » en géométrie où la signature et la dépendance de coordonnées modifient les propriétés habituelles du produit intérieur.

Synthèse

Un produit intérieur est un accouplement conjugué-symétrique et linéaire qui est positive défini et induit une norme ; il fournit le langage géométrique des longueurs, angles et orthogonalité et sous-tend projections, bases orthonormées et analyses spectrales en contextes linéaires et fonctionnels.